12. Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela curva e pelas retas , e em torno da reta .
Passo 1
Vamos desenhar essa região limitada por essas curvas:
Precisamos calcular, então, o volume do sólido gerado pela revolução, em torno de , dessa região .
Passo 2
Para calcular o volume vamos usar o método do disco, perceba que o raio do disco vai ser igual a
A área desse disco será igual a
Agora é só aplicar na fórmula
Iremos integrar a função de até :
Vamos usar a identidade trigonométrica
e reescrever a equação:
Para resolver a integral de , podemos substituir por . Fazendo as contas vamos perceber que a integral vale :