Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 6.2 - Ex. 12
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos.
Passo 1
Opa, bora resolver esse problema! Temos uma região limitada pelas seguintes retas:
Se a gente rotacionar essa região em torno do eixo obtemos um sólido. O enunciado pede pra a gente encontrar o volume edsse sólido! Para isso vamos usar a seguinte fórmula:
Além disso precisamos esboçar a região, o sólido e um disco ou arruela típicos que respresente a secção transversal!
Vamos colocar a mão na massa!
Passo 2
Vamos começar desenhando a região delimitada pelas curvas:
Temos que a área é representada pela figura abaixo:
Observando esse gráfico percebemos que os limites de integração são: e .
Passo 3
Quando rotacionarmos a área acima temos um volume com secção transversal circular e o seu raio vai ser igual a:
Percebe que aqui a gente tem dois “raios”. Um interno e um exerno! Além disso a gente pegou a função dada e diminuiu de , que é o eixo de rotação!
Agora vamos esboçar o sólido e a arruela:
Essa região sombreada é o disco que representa a secção transversal da arruela!
Passo 4
Para calcular o volume temos:
Essa área é dada por:
Substituindo na fórmula do volume e integrando:
Aplicando os limites de integração:
Prontinho!