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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.Exercícios práticos - Ex. 21

Nos Exercícios 21-24, determine as áreas de superfícies geradas pela rotação das curvas em torno dos eixos dados.21. y = 2 x + 1 ,     0 ≤ x ≤ 3 ;     e i x o   x

Passo 1

Essa questão não tem segredo, só precisamos aplicar a função na fórmula da área da superfície:

S = ∫ a b 2 π f x 1 + f ' x 2 d x

Vamos derivar a função dada, para acharmos f ' x .

Regra da cadeia:

f ' x = 1 2 2 x + 1 ⋅ 2

f ' x = 1 2 x + 1

Aplicando na integral, com limites de integração a = 0 e b = 3 :

S = ∫ 0 3 2 π 2 x + 1 1 + 1 2 x + 1 2 d x

S = ∫ 0 3 2 π 2 x + 1 1 + 1 2 x + 1 d x

S = ∫ 0 3 2 π 2 x + 1 ( 2 x + 1 ) + ( 1 ) 2 x + 1 d x

S = ∫ 0 3 2 π 2 x + 1 2 x + 2 2 x + 1 d x

S = ∫ 0 3 2 π 2 x + 2 d x

Vamos usar a técnica de substituição:

u = 2 x + 2

d u = 2 d x

Os limites de integração vão ficar:

a : x = 0 ⇒ u = 2

b : x = 3 ⇒ u = 8

Reescrevendo a equação:

S = ∫ 2 8 π u d u

S = 2 π 3 u 3 / 2 2 8

S = 2 π 3 8 3 / 2 - 2 π 3 2 3 / 2

S = 32 2 π 3 - 4 2 π 3

S = 28 2 π 3

Resposta

S = 28 2 π 3

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