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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.9 - Ex. 12

Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes funções. (Verifique sua resposta derivando.)

f x = x 2 3 + x x .

Passo 1

Oi, tudo certinho? 👀

O enunciado da questão nos dá a função

f x = x 2 3 + x x .

e pede para encontrarmos a primitiva mais geral de f .

Mas você lembra o que é ser uma primitiva de uma função 🤔?

Bem, uma primitiva da função f ( x ) , em um determinado intervalo I , é uma função derivável F ( x ) cuja derivada é igual a f ( x ) . Isto é:

d d x F x = f x                   p a r a   t o d o   x ∈ I .

Se somarmos uma constante qualquer a função F ( x ) , sua derivada ainda será igual a f x (pois a derivada de uma constante é zero). Então, chamamos de primitiva mais geral de f ( x ) , a função

F x + C ,

onde C é uma constante qualquer.

Para resolvermos a questão, precisamos responder à seguinte pergunta: qual é a função F ( x ) mais geral que se eu derivar vou obter F ' x =   x 2 3 + x x ?

Mas se liga só, podemos reescrever a função f ( x ) em termos de potências da seguinte maneira:

f x = x 2 3 + x ⋅ x 1 2 = x 2 3 + x 3 2 .

Com isso, como a função f ( x ) é um polinômio, podemos usar a Regra da Potência em cada um dos seus termos. Saca só:

  • A primitiva mais geral de uma potência x n é dada por

F x =   x n + 1 n + 1 + C ,

com C uma constante qualquer, pois a derivada de F (usando a Regra da Potência para derivadas) é:

d d x x n + 1 n + 1 + C = x n .

O valor de n só não poder ser - 1 , beleza? Pois nesse caso teríamos zero no denominador e isso não pode, né?

Já temos tudo o que precisamos para resolver essa questão 😊.

Bora começar?

Passo 2

Vamos calcular a primitiva F ( x ) da função

f x = x 2 3 + x 3 2 .

Usando a regra da potência, temos:

F x = x 2 3 + 1 2 3 + 1 + A + x 3 2 + 1 3 2 + 1 + C   .  

Simplificando, e somando os termos constantes de forma a termos D = A + C , vamos obter que:

F x = 3 5 x 5 3 + 2 5 x 5 2 + D

é a primitiva mais geral da função f ( x ) dada no enunciado.

Passo 3

Vamos conferir se está tudo ok, beleza?

Derivando a primitiva encontrada, como o enunciado pediu, temos:

F ' x = x 2 3 + x 3 2 = f ( x ) .

Isso mostra que a nossa resposta está certa 🎉!

Resposta

A primitiva mais geral da função f ( x ) é:

F x = 3 5 x 5 3 + 2 5 x 5 2 + D .

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