33. Encontre f

f'(t) = 4 / (1 + t^2) f(1) = 0

Passo 1

Opa, tranquilo?

O exercício quer que encontremos uma função que quando for derivada nos dará

f ' t = 4 1 + t 2

E temos mais uma condição, essa função tem que respeitar que, quando t = 1 , f ( 1 ) = 0 , e é com essa condição que encontraremos o valor da nossa constante C .

E para nos ajudar nessa empreitada podemos usar a seguinte tabela:

Agora sim, vamos lá!

Passo 2

Antes de começarmos, segundo a nossa tabela:

  f x = 1 1 + x 2 → F x = a r c t a n a r c t a n   ( x )     + C

Então vamos achar a primitiva de f ' ( t ) , isto é, f ( t ) :

f ' t = 4 1 + t 2  

Para não te confundir, você pode separar o 4 , dessa forma:

f ' t = 4 ⋅ 1 1 + t 2  

Agora ficou igualzinho a tabela, bora integrar:

f t = 4 ⋅ a r c t a n a r c t a n   ( t )   + C

Passo 3

Mas calma que ainda não concluímos os requisitos da questão, falta a parte que:

f 1 = 0

Do passo 2:

f t = 4 ⋅ ( t )   + C

Logo,

f 1 = 4 ⋅ ( 1 )   + C

Usando que f 1 = 0 e ( 1 )   = π 4 :

4 ⋅ π 4 + C = 0 → C = - π

Agora é só reescrever f t juntando tudo:

f t = 4 ⋅ ( x )   - π

Resposta

f t = 4 ⋅ ( x )   - π

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