Seja alpha != 0 um real fixo. Verifique que

  1. ∫ sen ⁡ α x d x = - 1 α cos ⁡ α x + k
  2. ∫ cos ⁡ α x d x = 1 α sen ⁡ α x + k

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente verificar que aquelas igualdades são verdadeiras. Isso significa que nós vamos precisar resolver as integrais indefinidas das funções trigonométricas que foram dadas e verificar se o resultado bate com aquele do lado direito da igualdade.

Pra facilitar a nossa vida, na hora de resolver essas integrais, vamos usar o método da substituição simples e chamar:

u = α x

Assim, para os dois casos, teremos a diferencial:

d u = α x

Daí basta substituir na integral e verificar o valor obtido.

Vamos lá!

Passo 2

No item a), temos:

∫ sen ⁡ α x d x

Então, usando a substituição vista no passo 1 , vamos ficar com:

∫ sen ⁡ u α d u

E colocando a constante do lado de fora da integral:

1 α ∫ sen ⁡ u d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas, que é:

∫ sen ⁡ x d x = - cos ⁡ x + C

E aplicando, teremos:

1 α ∫ sen ⁡ u d u = 1 α - cos ⁡ u + C

= - 1 α cos ⁡ u + C

Mas, lembra que definimos u = α x no passo 1 ? Então, na verdade teremos:

- 1 α cos ⁡ α x + C

Que corresponde ao resultado dado no item. Portanto, a igualdade é verdadeira.

Passo 3

Agora para o item b), vamos usar a mesma substituição ( u = α x → d u = α x ) para obter:

∫ cos ⁡ α x d x = ∫ cos ⁡ u α d u

= 1 α ∫ cos ⁡ u d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ cos ⁡ x d x = sen ⁡ x + C

E aplicando, teremos:

1 α ∫ cos ⁡ u d u = 1 α sen ⁡ u + C

Só falta colocarmos tudo em função de x de novo:

1 α sen ⁡ u + C = 1 α sen ⁡ α x + C

Que também satisfaz a equação dada no item b). Portanto, a igualdade também é verdadeira.

Valeu, galera. Até a próxima! 😉

Resposta

  1. ∫ sen ⁡ α x d x = - 1 α cos ⁡ α x + k
  2. ∫ cos ⁡ α x d x = 1 α sen ⁡ α x + k
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