Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 10.2 - Ex. 2
Seja um real fixo. Verifique que
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente verificar que aquelas igualdades são verdadeiras. Isso significa que nós vamos precisar resolver as integrais indefinidas das funções trigonométricas que foram dadas e verificar se o resultado bate com aquele do lado direito da igualdade.
Pra facilitar a nossa vida, na hora de resolver essas integrais, vamos usar o método da substituição simples e chamar:
Assim, para os dois casos, teremos a diferencial:
Daí basta substituir na integral e verificar o valor obtido.
Vamos lá!
Passo 2
No item a), temos:
Então, usando a substituição vista no passo , vamos ficar com:
E colocando a constante do lado de fora da integral:
Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas, que é:
E aplicando, teremos:
Mas, lembra que definimos no passo ? Então, na verdade teremos:
Que corresponde ao resultado dado no item. Portanto, a igualdade é verdadeira.
Passo 3
Agora para o item b), vamos usar a mesma substituição () para obter:
Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:
E aplicando, teremos:
Só falta colocarmos tudo em função de de novo:
Que também satisfaz a equação dada no item b). Portanto, a igualdade também é verdadeira.
Valeu, galera. Até a próxima! 😉