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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 10.1 - Ex. 13

Sejam f t ,   g t e   h t funções deriváveis em R e tais que, para todo t ,

f ' t = g t g ' t = - f t - h t h ' t = g ( t )

Suponha que f 0 = g 0 = h 0 = 1 prove que para todo t

f t 2 + g t 2 + h t 2 = 3

Passo 1

Aqui temos que usar as propriedades de integrais e derivadas para conseguir provar

f t 2 + g t 2 + h t 2 = 3

Sendo que f ' t = g t g ' t = - f t - h t h ' t = g ( t )

E

f 0 = g 0 = h 0 = 1

A gente começa ajeitando o sistema!

Passo 2

Para começar temos que

f ' t = g t

E

h ' t = g ( t )

Logo

h ' t = f ' ( t )

Integrando dos dois lados temos,

∫ h ' t d t = ∫ f ' t d t

h t = f t + k 1

Onde k 1 é uma constante! Para achar o valor de k 1 , vamos usar esta igualdade que o enunciado forneceu,

f 0 = g 0 = h 0 = 1

Temos

h 0 = f 0 + k 1 → k 1 = 0

Logo

f t = h t

Agora vamos descobrir quem é g ( t ) .

Passo 3

Agora vamos usar que,

g ' t = - f t - h t

Podemos usar

f 0   e   h 0 = 1

g ' 0 = - 2

Repara agora que como,

f t = h t e g ' t = - f t - h t

Também temos que

g ' t = - 2 f ( t )

Logo,

f t g ' t = - 1 2

Derivando temos e usando   f ' t = g t

- 2 g t = g ' t → g t g ' t = - 1 2

E também temos que

f t - 2 g t = - 1 2   → f t = g ( t )

Passo 4

f t 2 + g t 2 + h t 2 = 3

3 f t 2 = 3

Portanto para isto ser verdade f ( t ) = 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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e) ∫ s e n5 xd x
d) ∫ cos ⁡ 3 xd x
c) ∫ ( x + 3 e x )d x
3- Calcule.a) ∫ e 2 xd x
m) ∫ 1 x + e x d x ,x0