Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.6 - Ex. 12
12. Neste problema, vamos provar uma parte do Teorema 9.3.2 relativa à instabilidade.
(a) Mostre que, se e , então o ponto crítico do sistema linear é instável.
(b) O mesmo resultado é válido para o sistema localmente linear . Como nos Problemas 10 e 11, construa uma função positiva definida tal que , de modo que é positiva definida, e invoque o Teorema 9.6.2.
Passo 1
Para provarmos essa condição, primeiro devemos a matriz de coeficientes do sistema :
Calculando os autovalores dessa matriz então...
Rearranjando essa equação...
Est Voilà! Aqui chegamos:
Para o sistema ser instável devemos ter...
Da nossa equação do segundo grau, podemos tirar por Báskara que as raízes serão:
Repare que de cara temos que ter então...
E para o que está dentro da raiz ser um número pequeno e menor que de modo que somando ou subtraindo de ainda gere valores pequenos, temos que ter...
Assim garantimos que pelo menos uma das raízes negativas, portanto, teremos a instabilidade pedida!
Passo 2
Assim como na questão 10, tomemos:
De modo que...
Em que . Dessa forma, ao contrário do exercício 11, teremos...
O item , nos mostrou que e também é! Então e são positivos de modo que...
É positivo de menos na origem!
E assim como no exercício 11, também podemos falar que existe algum pequeno de modo que...
Próximo da origem! Portanto, podemos falar que é definida positiva perto da origem e, portanto, pelo teorema 9.6.2 o ponto crítico (origem) é instável!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)