Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.6 - Ex. 10
10. Considere o sistema linear .
Reprodução da equação:
(a) Como é um ponto crítico assintoticamente estável, mostre que e . (Veja o Problema 21 da Seção 9.1.)
(b) Construa uma função de Liapunov tal que é positiva definida e é negativa definida. Um modo de garantir que seja negativa definida é escolher , e tais . Mostre que isto leva ao resultado
Em que .
(c) Usando o resultado do item (a), mostre que A > 0 e depois mostre que (são necessários vários passos algébricos)
Logo, pelo Teorema , V é positiva definida.
Passo 1
Para provarmos essa condição, primeiro devemos a matriz de coeficientes do sistema :
Calculando os autovalores dessa matriz então...
Rearranjando essa equação...
Est Voilà! Aqui chegamos:
Para o sistema ser estável assintoticamente devemos ter...
Da nossa equação do segundo grau, podemos tirar por Báskara que as raízes serão:
Repare que de cara temos que ter então...
E para o que está dentro da raiz ser um número pequeno e menor que de modo que somando ou subtraindo de ainda gere valores negativos, temos que ter...
Assim garantimos que as duas raízes serão negativas e, portanto, teremos estabilidade pedida!
Passo 2
SHOW! Então sabemos que deve satisfazer a equação sugerida:
Da teoria, sabemos também que a definição de é...
e são as funções que veio do nosso sistema de EDO do enunciado:
Como
Então, calculando as derivadas parciais...
Reagrupando essa equação...
Chegaremos ao seguinte sistema por comparação com o lado direito:
Uma forma de verificar se , e dados no enunciado satisfazem a condição pedida é substituindo aqui nessa primeira equação:
Logo...
Reagrupando e simplificando...
OPA! Isso de fato é verdade! Então e são como dado. O pode ser provado da mesma forma, substituindo aí:
Passo 3
Podemos provar que é de fato maior que :
Afinal, sabemos da letra A que...
Isso implica no ser negativo, logo...
Passo 4
Provar que vale aquela expressão requer muitos cálculo, então vou deixar aqui um passo fazer, tá?
Primeiro você substitui as expressões de e :
Agora simplifique...
Juntando tudo em uma única equação...
Subtraindo quem tem de ser subtraído...
Bem, daqui em diante é só simplificação e agrupamento. De fato, podemos chegar aqui, com mais umas três páginas de algebrismo kkkk:
Como e o resto estão ao quadrado, concluímos que de fato...
O que prova o exercício!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)