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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 22

1-26. Calcule a integral.

22. int_0^((1)/(2)) (d x)/((1 - x^2)^2)

Passo 1

Então galera, para resolvermos essa integral vamos utilizar a seguinte substituição trigonométrica:

x = a . s e n theta

Pois aparece um termo no nosso denominador do tipo:

a^2 - x^2

Comparando o termo que aparece na nossa integral, que é (1 - x^2) com o termo acima, teremos:

a^2 = 1

:. a = 1

Logo:

x = 1 . s e n theta

E disso tiramos:

d x = cos theta d theta

Passo 2

Substituindo os valores encontrados na nossa integral, teremos:

int_0^((1)/(2)) (d x)/((1 - x^2)^2) = int_0^((1)/(2)) (cos theta)/((1 - s e n^2 theta)^2) d theta

Mas o que seria (1 - s e n^2 theta) ? Pela relação fundamental da trigonometria:

c o s^2 theta = 1 - s e n^2 theta

Então:

int_0^((1)/(2)) (cos theta)/((1 - s e n^2 theta)^2) d theta = int_0^((1)/(2)) (cos theta)/(cos^4 theta) d theta = int_0^((1)/(2)) s e c^3 theta d theta

Ufa! Foi chatinho, mas simplificamos nossa integral. Agora sim conseguimos resolvê-la!

Passo 3

Para a nossa nova integral vamos utilizar novamente a relação fundamental da trigonometria, se liga:

int_0^((1)/(2)) s e c^3 theta d theta = int_0^((1)/(2)) sec theta (t g^2 theta + 1) d theta = int_0^((1)/(2)) sec theta t g^2 theta d theta + int_0^((1)/(2)) sec theta d theta

Essas duas integrais são tabeladas, galera! A primeira integral é resolvida utilizando redução de integrais e a segunda já tem resultado conhecido. Seus resultados são:

int_0^((1)/(2)) sec theta t g^2 theta d theta + int_0^((1)/(2)) sec theta d theta = [(1)/(2) sec theta . t g theta + (1)/(2) ln |sec theta + t g theta|] ((1)/(2))/(0)

Passo 4

Beleza galera, encontramos nossa integral, mas em termos de theta e queremos em termos de x . Da substituição trigonométrica que fizemos, tiramos que:

sec theta = (1)/(sqrt(1 - x^2))

t g theta = (x)/(sqrt(1 - x^2))

Substituindo no nosso resultado, teremos:

[(1)/(2) sec theta . t g theta + (1)/(2) ln |sec theta + t g theta|] ((1)/(2))/(0) = [(1)/(2) (1)/(sqrt(1 - x^2)) . (x)/(sqrt(1 - x^2)) + (1)/(2) ln |(1)/(sqrt(1 - x^2)) + (x)/(sqrt(1 - x^2))|] ((1)/(2))/(0)

Aplicando os intervalos de integração:

[(1)/(2) (1)/(sqrt(1 - x^2)) . (x)/(sqrt(1 - x^2)) + (1)/(2) ln |(1)/(sqrt(1 - x^2)) + (x)/(sqrt(1 - x^2))|] ((1)/(2))/(0) = (1)/(3) + (1)/(4) ln 3 - 0

:. int_0^((1)/(2)) (d x)/((1 - x^2)^2) = (1)/(3) + (1)/(4) ln 3

E esse é o nosso resultado, galera!

Resposta

int_0^((1)/(2)) (d x)/((1 - x^2)^2) = (1)/(3) + (1)/(4) ln 3

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