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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.3 - Ex. 53

Área Determine a área da região no primeiro quadrante que é delimitada pelos eixos coordenados e pela curva y = 9 - x 2 3 .

Passo 1

A primeira coisa que vamos fazer é esboçar o gráfico da função y x :

Como o exercício pede a área que é definida pela curva e pelos eixos coordenados, ele quer que a gente calcule:

A = ∫ 0 3 9 - x 2 3 d x

Passo 2

Vamos agora fazer uma mudança de variável trigonométrica:

x = 3 sin ⁡ θ

Derivando dos dois lados:

d x = 3 cos ⁡ θ d θ

Transformando os limites superior e inferior:

x = 0 → θ = arcsin ⁡ 0 = 0

x = 3 → θ = arcsin ⁡ 1 = π 2

Colocando na integral:

A = ∫ 0 3 9 - x 2 3 d x = ∫ 0 π 2 9 - 3 sin ⁡ θ 2 3 3 cos ⁡ θ d θ = ∫ 0 π 2 9 - 9 sin 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

A = ∫ 0 π 2 9 1 - sin 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

Lembrando das relações trigonométricas:

cos 2 ⁡ θ = 1 - sin 2 ⁡ θ

Substituindo na equação:

A = ∫ 0 π 2 9 1 - sin 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = ∫ 0 π 2 9 cos 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = 3 ∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ θ d θ

Passo 3

Relembrando das relações trigonométricas:

cos 2 ⁡ x = 1 + cos ⁡ 2 x 2

Assim,

A = 3 ∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ θ d θ = 3 ∫ 0 π 2 1 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ

Separando em duas integrais:

A = 3 2 ∫ 0 π 2 d θ + 3 2 ∫ 0 π 2 cos ⁡ 2 θ d θ

Passo 4

Calculando a integral:

A = 3 2 ∫ 0 π 2 d θ + 3 2 ∫ 0 π 2 cos ⁡ 2 θ d θ = 3 2 θ 0 π 2 + 3 2 sin ⁡ 2 θ 2 θ ' 0 π 2 = 3 2 θ 0 π 2 + 3 4 sin ⁡ 2 θ 0 π 2

A = 3 2 π 2 - 0 + 3 4 sin ⁡ 2 ∙ π 2 - sin ⁡ 2 ∙ 0 = 3 π 4 + 3 4 sin ⁡ π - sin ⁡ 0 = 3 π 4

Pronto!!!

Resposta

3 π 4

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Use as duas substituições no Exercício 11 para estimar a integral definida ∫ 0 π 4 sec 2 ⁡ x t g x d x E confirme que os resultados são iguais.
Mostre que as substituições u = s e c ⁡ ( x ) e u = t g ( x ) produzem valores diferentes para a integral: ∫ sec 2 ⁡ x t g x d x Explique por que ambos estão corretos.
27-30. Verdadeiro/Falso. Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.28. A substituição trigonométrica x = a . s e nθ é usada com a restrição 0 ≤ θ ≤ π .
1-26. Calcule a integral.20. ∫ cos ⁡ θ 2 - s e n 2 θ d θ
27-30. Verdadeiro/Falso. Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.27. Um integrando envolvendo um radical da forma a 2 - x 2 sugere a substituição x = a . s e nθ .