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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.3 - Ex. 45

Nos Exercícios 35-48, utilize uma substituição apropriada e, em seguida, uma substituição trigonométrica para calcular as integrais.

∫ 4 - x x d x

Passo 1

A primeira coisa que vamos fazer é uma mudança de variável.

x = u 2

Derivando dos dois lados:

d x = 2 u d u

Passo 2

Substituindo na integral:

∫ 4 - x x d x = ∫ 4 - u 2 u 2 2 u d u = 2 ∫ 4 - u 2 u 2 u 2 d u = 2 ∫ 4 - u 2 d u

Fazendo mais uma mudança de variável:

u = 2 sin ⁡ θ

Derivando dos dois lados:

d u = 2 cos ⁡ θ d θ

Colocando na integral:

2 ∫ 4 - u 2 d u = 2 ∫ 4 - 2 sin ⁡ θ 2 2 cos ⁡ θ d θ = 4 ∫ 4 - 4 sin 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

4 ∫ 4 1 - sin 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = 8 ∫ 1 - sin 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

Lembrando da relação fundamental da trigonometria:

cos 2 ⁡ θ = 1 - sin 2 ⁡ θ

Assim,

8 ∫ 1 - sin 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = 8 ∫ cos 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = 8 ∫ cos 2 ⁡ θ d θ = 8 ∫ cos 2 ⁡ θ d θ

Passo 3

Relembrando das relações triogonométricas:

cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2

Logo,

8 ∫ cos 2 ⁡ θ d θ = 8 ∫ 1 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ

Separando em dois termos:

4 ∫ d θ + 4 ∫ cos ⁡ 2 θ d θ

Passo 4

Calculando a integral:

4 ∫ d θ + 4 ∫ cos ⁡ 2 θ d θ = 4 θ + 4 sin ⁡ 2 θ 2 θ ' = 4 θ + 2 sin ⁡ 2 θ = 4 θ + 4 sin ⁡ θ cos ⁡ θ + C

Revertendo para a variável original:

4 θ + 4 sin ⁡ θ cos ⁡ θ + C = 4 arcsin ⁡ u 2 + 4 sin ⁡ arcsin ⁡ u cos ⁡ arcsin ⁡ u + C

4 arcsin ⁡ u 2 + 4 u 1 - u 2 + C = 4 arcsin ⁡ x 2 + 4 x 1 - x + C

4 arcsin ⁡ x 2 + 4 x - x 2 + C

Resposta

4 arcsin ⁡ x 2 + 4 x - x 2 + C

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