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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.3 - Ex. 48

Nos Exercícios 35-48, utilize uma substituição apropriada e, em seguida, uma substituição trigonométrica para calcular as integrais.

∫ x - 2 x - 1 d x

Passo 1

A primeira coisa que vamos fazer é uma mudança de variável.

u = x - 1

u 2 = x - 1

Derivando dos dois lados:

2 u d u = d x

Passo 2

Substituindo na integral:

∫ x - 2 x - 1 d x = ∫ u 2 - 1 u 2 u d u = 2 ∫ u 2 - 1 d u

Fazendo mais uma mudança de variável:

u = sec ⁡ θ

Derivando dos dois lados:

d u = sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

Colocando na integral:

2 ∫ sec 2 ⁡ θ - 1 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

Lembrando da relação fundamental da trigonometria:

tan 2 ⁡ θ = 1 - sec 2 ⁡ θ

Assim,

2 ∫ sec 2 ⁡ θ - 1 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ = 2 ∫ tan 2 ⁡ θ sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ = 2 ∫ sec ⁡ θ tan 2 ⁡ θ d θ

Passo 3

Integrando por partes,

w = tan ⁡ θ → d w = sec 2 ⁡ θ d θ

d v = sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ → v = sec ⁡ θ

Logo,

2 tan ⁡ θ sec ⁡ θ - ∫ sec 3 ⁡ θ d θ = 2 tan ⁡ θ sec ⁡ θ - 2 ∫ sec ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

2 tan ⁡ θ sec ⁡ θ - 2 ∫ sec ⁡ θ 1 - tan 2 ⁡ θ d θ = 2 tan ⁡ θ sec ⁡ θ - 2 ∫ sec ⁡ θ d θ + 2 ∫ sec ⁡ θ tan 2 ⁡ θ d θ

Assim,

2 ∫ sec ⁡ θ tan 2 ⁡ θ d θ = 2 tan ⁡ θ sec ⁡ θ - 2 ∫ sec ⁡ θ d θ + 2 ∫ sec ⁡ θ tan 2 ⁡ θ d θ

2 ∫ sec ⁡ θ tan 2 ⁡ θ d θ + 2 ∫ sec ⁡ θ tan 2 ⁡ θ d θ = 2 tan ⁡ θ sec ⁡ θ - 2 ∫ sec ⁡ θ d θ

2 ∫ sec ⁡ θ tan 2 ⁡ θ d θ = tan ⁡ θ sec ⁡ θ - ∫ sec ⁡ θ d θ + C

Passo 4

Vamos resolver agora a - ∫ sec ⁡ θ d θ :

- ∫ sec ⁡ θ d θ ∙ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ = - ∫ sec 2 ⁡ θ + sec ⁡ θ tan ⁡ θ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ d θ

Agora, precisamos fazer mais uma mudança de variável:

a = sec ⁡ θ + tan ⁡ θ

Derivando dos dois lados:

d a = sec ⁡ θ tan ⁡ θ + sec 2 ⁡ θ d θ

Colocando na integral:

∫ sec 2 ⁡ θ + sec ⁡ θ tan ⁡ θ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ d θ = ∫ d a a

Calculando a integral:

∫ d a a = ln ⁡ a

Revertendo para a variável anterior:

ln ⁡ a = ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ

Passo 5

Juntando agora os Passos 3 e 4:

tan ⁡ θ sec ⁡ θ - ∫ sec ⁡ θ d θ + C = tan ⁡ θ sec ⁡ θ - ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ + C

Revertendo para a variável original:

tan ⁡ θ sec ⁡ θ - ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ + C

tan ⁡ arcsec ⁡ u sec ⁡ arcsec ⁡ u - ln ⁡ sec ⁡ arcsec ⁡ u + tan ⁡ arcsec ⁡ u + C

u u 2 - 1 - ln ⁡ u + u 2 - 1 + C

x - 1 x - 1 - 1 - ln ⁡ x - 1 + x - 1 - 1 + C

x - 1 x - 2 - ln ⁡ x - 1 + x - 2 + C

Fim!!!

Resposta

x - 1 x - 2 - ln ⁡ x - 1 + x - 2 + C

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