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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.3 - Ex. 54

Área Determine a área delimitada pela elipse

(x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) = 1 .

Passo 1

A primeira coisa que vamos fazer é y (x) :

(y^2)/(b^2) = 1 - (x^2)/(a^2)

y^2 = b^2 ((a^2 - x^2)/(a^2))

y = sqrt(b^2 ((a^2 - x^2)/(a^2)))

y = (b)/(a) sqrt(a^2 - x^2)

Como o exercício pede a área que é definida pela elipse, ele quer que a gente calcule:

A = 4 int_0^a (b)/(a) sqrt(a^2 - x^2) d x

Passo 2

Vamos agora fazer uma mudança de variável trigonométrica:

x = a sin theta

Derivando dos dois lados:

d x = a cos theta d theta

Transformando os limites superior e inferior:

x = 0 -> theta = arcsin (0 // a) = 0

x = a -> theta = arcsin (a // a) = (pi)/(2)

Colocando na integral:

A = 4 int_0^a (b)/(a) sqrt(a^2 - x^2) d x = (4 b)/(a) int_0^((pi)/(2)) sqrt(a^2 - (a sin theta)^2) a cos theta d theta

A = 4 b int_0^(pi // 2) sqrt(a^2 - a^2 sin^2 theta) cos theta d theta = 4 b int_0^(pi // 2) sqrt(a^2 (1 - sin^2 theta)) cos theta d theta

Lembrando das relações trigonométricas:

cos^2 theta = 1 - sin^2 theta

Substituindo na equação:

A = 4 b int_0^(pi // 2) sqrt(a^2 (1 - sin^2 theta)) cos theta d theta = 4 b int_0^(pi // 2) sqrt(a^2 cos^2 theta) cos theta d theta = 4 a b int_0^(pi // 2) cos^2 theta d theta

Passo 3

Relembrando das relações trigonométricas:

cos^2 x = (1 + cos 2 x)/(2)

Assim,

A = 4 a b int_0^(pi // 2) cos^2 theta d theta = 4 a b int_0^(pi // 2) ((1 + cos 2 theta)/(2)) d theta

Separando em duas integrais:

A = 2 a b int_0^((pi)/(2)) d theta + 2 a b int_0^((pi)/(2)) cos 2 theta d theta

Passo 4

Calculando a integral:

A = 2 a b int_0^((pi)/(2)) d theta + 2 a b int_0^((pi)/(2)) cos 2 theta d theta = 2 a b [theta]_0^((pi)/(2)) + 2 a b [(sin 2 theta)/((2 theta)^')]_0^((pi)/(2)) = 2 a b [theta]_0^((pi)/(2)) + 2 a b [sin 2 theta]_0^((pi)/(2))

A = 2 a b ((pi)/(2) - 0) + (a b)/(2) (sin (2 * (pi)/(2)) - sin (2 * 0)) = pi a b + (a b)/(2) (sin pi - sin 0) = pi a b

Pronto!!!

Resposta

pi a b

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