37-48. Calcule a integral.

37. ∫ d x x 2 - 4 x + 5

Passo 1

Então pessoal, a integral que nos foi dada é muito complicada de se resolver da maneira que está, então o que devemos fazer é completar quadrado no denominador, a fim de facilitar nossa vida, ok? Completando o quadrado, teremos:

x 2 - 4 x + 5 = x 2 - 4 x + 4 + 1

x 2 - 4 x + 5 = x - 2 2 + 1

Substituindo na nossa integral:

∫ d x x 2 - 4 x + 5 = ∫ d x x - 2 2 + 1

Agora sim conseguimos resolver!

Passo 2

Para resolver a integral vamos utilizar uma substituição simples, saca só:

u = x - 2

Disso tiramos que:

d u = d x

Substituindo na nossa integral, teremos:

∫ d x x - 2 2 + 1 = ∫ d u u 2 + 1

E como vimos na seção 4, essa é uma integral tabelada e seu resultado é:

∫ d u u 2 + 1 = a r c tan ⁡ u + C

Como u = x - 2 , então:

∫ d x x 2 - 4 x + 5 = a r c tan ⁡ x - 2 + C

E esse é o nosso resultado, galera! 😉

Resposta

∫ d x x 2 - 4 x + 5 = a r c tan ⁡ x - 2 + C

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