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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 37

37-48. Calcule a integral.

37. int (d x)/(x^2 - 4 x + 5)

Passo 1

Então pessoal, a integral que nos foi dada é muito complicada de se resolver da maneira que está, então o que devemos fazer é completar quadrado no denominador, a fim de facilitar nossa vida, ok? Completando o quadrado, teremos:

x^2 - 4 x + 5 = x^2 - 4 x + 4 + 1

x^2 - 4 x + 5 = (x - 2)^2 + 1

Substituindo na nossa integral:

int (d x)/(x^2 - 4 x + 5) = int (d x)/((x - 2)^2 + 1)

Agora sim conseguimos resolver!

Passo 2

Para resolver a integral vamos utilizar uma substituição simples, saca só:

u = x - 2

Disso tiramos que:

d u = d x

Substituindo na nossa integral, teremos:

int (d x)/((x - 2)^2 + 1) = int (d u)/(u^2 + 1)

E como vimos na seção 4, essa é uma integral tabelada e seu resultado é:

int (d u)/(u^2 + 1) = a r c tan u + C

Como u = x - 2 , então:

int (d x)/(x^2 - 4 x + 5) = a r c tan (x - 2) + C

E esse é o nosso resultado, galera! 😉

Resposta

int (d x)/(x^2 - 4 x + 5) = a r c tan (x - 2) + C

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c)int cos (x) s e n^4 (x) d x
f)int cos^2 (2 x) s e n^2 (2 x) d x
a)int cos^2 (5 x) d x
h)int cos (x) cos^2 (4 x) d x
e)int s e n^2 ( x ) cos^4 (x) d x