12-Num determinado instante, as arestas de um paralelepípedo medem a , b , c   ( m ) e, neste instante, estão variando com velocidades v a , v b , v c   (m/s), respectivamente. Mostre que nesse instante o volume do paralelepípedo estará variando a uma taxa de v a b c + a v b c + a b v c ( m 3 / s ) .

Passo 1

Oi, pessoal! Tudo bom? Repara que o enunciado nos fornece o valor das respectivas derivadas dos lados a ,   b   e   c com relação ao tempo.

Assim:

d a d t = v a

d b d t = v b

d c d t = v c

Além disso, ele da equação de variação do volume!

Só lembrando que o volume V do paralelepípedo é calculado por V = a b c .

Então galerinha para a taxa de variação do volume, vamos ter que derivar em função de a , b ,   c .

Passo 2

Usando a regra do produto, vamos calcular d V d t .

d V d t = b c d a d t + a c d b d t + a b d c d t

Como a derivada é a velocidade que cada lado varia temos,

d V d t = v a b c + a v b c + a b v c

E com isso encontramos o resultado que queríamos. ;)

Resposta

Demonstrada acima

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