O raio r e a altura h de um cilindro circular reto estão variando de modo a manter constante o volume V . Num determinado instante h = 3   c m e r = 1 c m e, nesse instante, a altura está variando a uma taxa de 0,2   c m / s . A que taxa estará variando o raio nesse instante?

Passo 1

Oi, pessoal! Tudo bom?

O enunciado pediu pra gente calcular a taxa de variação do raio de um cilindro no instante em que sua altura está variando a uma taxa de 0,2   c m / s . Pra isso, ele nos disse que o volume do cilindro é constante e que em um determinado instante, temos h = 3   c m e r = 1   c m .

Assim, nós vamos ter que relacionar a taxa de variação da altura com a taxa de variação do raio do cilindro, para que o volume seja constante. Se o volume é constante, significa que sua taxa variação é zero, ou seja:

d V d t = 0

E temos que o volume do cilindro reto é calculado por:

V = π r 2 h

Então, para encontrar a taxa de variação do raio, d r d t , vamos derivar implicitamente a expressão do volume, para fazer aparecer o d r / d t , e substituir os dados que o enunciado nos deu.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando V = π r 2 h implicitamente, usando a regra do produto:

d V d t = π r 2 ∙ d h d t + h ∙ 2 r ∙ d r d t

Como d V d t = 0 , temos:

π r 2 ∙ d h d t + h ∙ 2 r ∙ d r d t = 0

Então, como π é uma constante diferente de zero, para essa função zerar, temos que:

r 2 ∙ d h d t + 2 r h ∙ d r d t = 0

Isolando d r d t :

2 r h ∙ d r d t = - r 2 ∙ d h d t

E simplificando:

d r d t = - r 2 h ∙ d h d t

Agora vamos substituir os valores fornecidos pelo enunciado.

Passo 3

O enunciando mencionou que a taxa de variação da altura em um determinado instante era de 0,2   c m / s , ou seja,

d h d t = 0,2   c m / s

Neste mesmo instante tínhamos:

h = 3 c m

r = 1 c m

Substituindo na equação:

d r d t = - r 2 h ∙ d h d t

Ficamos com:

d r d t = - 1 2 ∙ 3 ∙ ( 0,2 )

d r d t = - 0,2 6

d r d t = - 1 6 . 1 5 = - 1 30 c m / s

Observe que o valor da taxa de variação do raio negativo, indica que ele está diminuindo.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

d r d t = - 1 30 c m / s

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