Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.17 - Ex. 13
O raio e a altura de um cilindro circular reto estão variando de modo a manter constante o volume . Num determinado instante e e, nesse instante, a altura está variando a uma taxa de . A que taxa estará variando o raio nesse instante?
Passo 1
Oi, pessoal! Tudo bom?
O enunciado pediu pra gente calcular a taxa de variação do raio de um cilindro no instante em que sua altura está variando a uma taxa de . Pra isso, ele nos disse que o volume do cilindro é constante e que em um determinado instante, temos e .
Assim, nós vamos ter que relacionar a taxa de variação da altura com a taxa de variação do raio do cilindro, para que o volume seja constante. Se o volume é constante, significa que sua taxa variação é zero, ou seja:
E temos que o volume do cilindro reto é calculado por:
Então, para encontrar a taxa de variação do raio, , vamos derivar implicitamente a expressão do volume, para fazer aparecer o , e substituir os dados que o enunciado nos deu.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar derivando implicitamente, usando a regra do produto:
Como , temos:
Então, como é uma constante diferente de zero, para essa função zerar, temos que:
Isolando :
E simplificando:
Agora vamos substituir os valores fornecidos pelo enunciado.
Passo 3
O enunciando mencionou que a taxa de variação da altura em um determinado instante era de , ou seja,
Neste mesmo instante tínhamos:
Substituindo na equação:
Ficamos com:
Observe que o valor da taxa de variação do raio negativo, indica que ele está diminuindo.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉