Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.17 - Ex. 14
14-Uma piscina tem 10m de largura, 20m de comprimento, 1m de profundidade nas extremidades e 3m no meio, de modo que o fundo seja formado por dois planos inclinados. Despeja-se água na piscina a uma taxa de . Seja h a altura da água em relação à parte mais profunda. Com que velocidade h estará variando no instante em que h= 1 m ?
20m
1m
3m
h
Passo 1
Inicialmente, notemos que o volume V de água na piscina pode ser calculado dependendo da altura da água.
Neste caso, separemos a questão em dois casos, e escolhemos depois qual é o mais adequado para o problema.
Primeiro caso:
Em que b é a base da superfície triangular do prisma.
Segundo caso:
Note que o problema pede a variação de h no instante em que h é 1 metro. Portanto, utilizaremos o primeiro caso.
Passo 2
Agora, precisamos calcular b em função de alguma das variáveis conhecidas.
Note que temos um caso de semelhança de triângulos:
Assim, temos que:
Substituindo na equação do volume, segue que:
Passo 3
Agora que temos uma expressão que relaciona o volume com a altura da água na piscina, podemos derivar para trabalharmos com as taxas de variação:
Como a questão nos disse que a água é despejada a uma taxa de , temos:
No instante em que h=1m, a taxa de variação da altura é de: