O volume V e o raio r da base de um cone circular reto estão variando com taxas constantes de 0,1 π   m 3 / s e 0,2 m / s , respectivamente. Expresse d h d t em termos de   r e V , em que h é a altura do cone.

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Repara que o enunciado quer uma taxa de variação da altura de um cone em relação ao tempo e nos forneceu essas informações:

d V d t = 0,1 π

d r d t = 0,2

Dessa forma, precisamos achar uma relação entre essas variações de modo que possamos encontrar d h d t em função das outras duas medidas.

Para isso vamos lembrar que o volume de um cone é dado por:

V = 1 3 A . h

Como a área da circunferência é A = π r 2 . Temos,

V = 1 3 π r 2 . h

Agora vamos achar d V d t , aplicando a regra do produto,

d V d t = 1 3 π ( d r d t 2 r h + d h d t r 2 )

Pronto! Achamos a relação das taxas, agora vamos substituir!

Passo 2

Temos que, substituindo os valores de d V d t   e d r d t :

0,1 π = π 3 0,4 r h + d h d t r 2

Desenvolvendo:

0,3 = 0,4 r h + d h d t r 2

0,3 - 0,4 r h r 2 = d h d t

Passo 3

Já encontramos uma relação entre a taxa de variação de h em função de r e h . No entanto, queremos encontrar a taxa de variação de h em função de r e V . Assim, basta lembrar que:

V = 1 3 π r 2 h ⇔ h = 3 V π r 2

Assim, resta apenas substituir na equação encontrada no passo anterior:

0,3 - 1,2 V π r r 2 = d h d t

Resposta

0,3 - 1,2 V π r r 2 = d h d t

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