Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.17 - Ex. 11
O volume e o raio da base de um cone circular reto estão variando com taxas constantes de 0,1 e , respectivamente. Expresse em termos de e , em que é a altura do cone.
Passo 1
Oi, galerinha! Tudo bom? Repara que o enunciado quer uma taxa de variação da altura de um cone em relação ao tempo e nos forneceu essas informações:
Dessa forma, precisamos achar uma relação entre essas variações de modo que possamos encontrar em função das outras duas medidas.
Para isso vamos lembrar que o volume de um cone é dado por:
Como a área da circunferência é . Temos,
Agora vamos achar , aplicando a regra do produto,
Pronto! Achamos a relação das taxas, agora vamos substituir!
Passo 2
Temos que, substituindo os valores de :
Desenvolvendo:
Passo 3
Já encontramos uma relação entre a taxa de variação de em função de e . No entanto, queremos encontrar a taxa de variação de em função de e . Assim, basta lembrar que:
Assim, resta apenas substituir na equação encontrada no passo anterior: