13- Volume O raio r e a altura h de um cilindro estão relacionados com o volume V do cilindro pela fórmula V = π r 2 h .

  1. Como d V / d t está relacionado a d h / d t se r é constante?
  2. Como d V / d t está relacionada com a d r / d t se h é constante?
  3. Como d V / d t está relacionada a d r / d t e d h / d t se nem r nem h são constantes?

Passo 1

Derivando a equação do volume em relação ao tempos nos dá:

d d t V = d d t ( π r 2 h )

Passo 2

Para a letra a r é constante logo temos:

d V d t = π r 2 × d h d t

Passo 3

Para a letra b agora h é constante:

Então nossa derivada fica:

d V d t = π h × d d r r 2 × d r d t

d V d t = 2 π r h × d r d t

Passo 4

Como agora nem r nem h são constantes temos a soma das duas letras anteriores. Pois temos uma função de múltiplas variáveis tal como:

d V d t = d d r π r 2 h × d r d t + d d h π r 2 h × d h d t

d V d t = 2 π r h d r d t + π r 2 d h d t

Resposta

  1. d V d t = π r 2 × d h d t
  2. d V d t = 2 π r h × d r d t  
  3. d V d t = 2 π r h d r d t + π r 2 d h d t
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