13- Volume O raio r e a altura h de um cilindro estão relacionados com o volume V do cilindro pela fórmula V = pi \* r^2 \* h .

  1. Como dV/dt está relacionado a dh/dt se r é constante?
  2. Como dV/dt está relacionada com a dr/dt se h é constante?
  3. Como dV/dt está relacionada a dr/dt e dh/dt se nem r nem h são constantes?

Passo 1

Derivando a equação do volume em relação ao tempos nos dá:

d d t V = d d t ( π r 2 h )

Passo 2

Para a letra a r é constante logo temos:

d V d t = π r 2 × d h d t

Passo 3

Para a letra b agora h é constante:

Então nossa derivada fica:

d V d t = π h × d d r r 2 × d r d t

d V d t = 2 π r h × d r d t

Passo 4

Como agora nem r nem h são constantes temos a soma das duas letras anteriores. Pois temos uma função de múltiplas variáveis tal como:

d V d t = d d r π r 2 h × d r d t + d d h π r 2 h × d h d t

d V d t = 2 π r h d r d t + π r 2 d h d t

Resposta

  1. d V d t = π r 2 × d h d t
  2. d V d t = 2 π r h × d r d t  
  3. d V d t = 2 π r h d r d t + π r 2 d h d t
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