14- Volume O raio r e altura h de um cone circular reto estão relacionados com o volume V do cone pela equação V = 1 3 π r 2 h

  1. Como d V / d t   está relacionada a d h / d t se r é constante?
  2. Como d V / d t está relacionada a d r / d t se h é constante?
  3. Como d V / d t   está relacionada a d r / d t   e d h / d t se nem r nem h são constantes?

Passo 1

Derivando em relação ao tempo a equação acima ficaríamos com:

d V d t = π 3 d d t ( r 2 h )

Como temos duas variáveis ficaríamos com:

d V d t = π 3 × d d r r 2 h × d r d t + d d h r 2 h × d h d t

Que é igual a:

d V d t = π 3 × 2 r h d r d t + r 2 d h d t

Passo 2

Na letra a r é constante por causa disso ele não varia então d r d t = 0 , logo da equação acima temos:

d V d t = π 3 × r 2 d h d t

Passo 3

Na letra b h não varia logo d h d t = 0 . Então temos:

d V d t = π 3 × 2 r h d r d t

Passo 4

Na letra c nem r nem h variam então temos a soma das duas derivadas e que é a equação diferencial encontrado no fim do passo 1. Que é

d V d t = π 3 r 2 d h d t + 2 3   π r h d r d t

Resposta

  1. d V d t = π 3 × r 2 d h d t
  2. d V d t = π 3 × 2 r h d r d t
  3. d V d t = π 3 r 2 d h d t + 2 3   π r h d r d t
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