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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.10 - Ex. 17

17- Distância Sejam x e y funções deriváveis de t e seja s = x 2 + y 2 a distância entre os pontos ( x , 0 ) e ( 0 , y ) no plano x y .

  1. Como d s / d t   está relacionada a d x / d t se y é constante?
  2. Como d s / d t está relacionada a d x / d t e d y / d t se nem x nem y são constantes?
  3. Como d x / d t está relacionada a d y / d t se s é constante?

Passo 1

Fazendo um diagrama do que está sendo dito temos:

Passo 2

Agora se derivarmos em relação a t a equação da distância admitindo que todas os parâmetros são variáveis nós temos:

d d t s = d d t x 2 + y 2

d s d t = d d x x 2 + y 2 × d x d t + d d y x 2 + y 2 × d y d t

d s d t = 2 x 2 x 2 + y 2 d x d t + 2 y 2 x 2 + y 2 d y d t  

d s d t = x d x d t + y d y d t x 2 + y 2

Passo 3

Na letra a, temos que y é constante logo:

d s d t = 1 x 2 + y 2 × x d x d t

Passo 4

Na letra b como nem x nem y são constantes logo temos a equação que encontramos no final do passo 1 então.

d s d t = x d x d t + y d y d t x 2 + y 2

Passo 5

Como na letra c, s é constante então d s d t = 0 . E supõe-se que s não é 0. Logo:

0 = x x 2 + y 2 d x d t + y x 2 + y 2 d y d t

Isolando d x / d t :

d x d t = - y x d y d t

Resposta

  1. d s d t = x x 2 + y 2 d x d t

  2. d s d t = x x 2 + y 2 d x d t + y x 2 + y 2 d y d t

  3. d x d t = - y x d y d t
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