13-18. Encontre uma fórmula para o termo geral da sequência, assumindo que o padrão dos primeiros termos continue.

15.

Olhando então para a nossa sequência

O sinal dos termos são intercalados, ou seja, uma hora é positivo e outra hora é negativo.

Quando esse tipo de coisa aparece, precisamos de um fator que alterne entre positivo e negativo à medida que aumenta. O termo

Faz exatamente isso!

Quando é ímpar, resulta em , onde é um número inteiro, dando um valor positivo.

Da mesma forma, quando é par, resulta em , dando um valor negativo.

Faz sentido esse termo existir porque para cada diferente o sinal muda, e é exatamente o que acontece na nossa sequência. Beleza?

Agora vamos analisar o numerador! Vamos observar os primeiros termos da sequência novamente:

Ao olhar para os numeradores dos termos:

• O numerador de é
• O numerador de é
• O numerador de é
• O numerador de é
• O numerador de é

Se você reparar, o numerador dos termos tem formato de . Para observarmos que é verdade, basta substituirmos valores para e ver se bate, saca só:

MAS PERA! No entanto, o primeiro termo é ! Assim, para compensar isso e para que a nossa expressão fique correta devemos multiplicar a nossa expressão por esse valor! Ou seja,

O denominador dos termos tem formato de , pelo mesmo motivo do numerador! Sendo assim, agora que temos todas as informações, vamos montar nossa expressão:

1. O sinais dos termos é dado por
2. O numerador é dado por
3. O denominador é dado por

Juntando tudo, temos:

Agora só de curiosidade, bora testar!?

Vamos começar pelo primeiro termo e seguir:

Comparando:

Certinho!!! E o próximo termo seria: