Uma sequência de números racionais é descritiva a seguir :

1 / 1, 3 / 2, 7 / 5, 17 / 12, …, …, …, a / b, (a + 2b) / (a + b), …

Aqui os numeradores formam uma sequência, os denominadores formam uma segunda sequência e suas razões formam uma terceira sequência. Sejam x_n e y_n , respectivamente, o numerador e o denominador da n-ésima fração r_n = (x_n) / (y_n)

a) verifique que x₁² - 2y₁² = -1, x₂² - 2y₂² = 1 e , mais genericamente, que a^2 - 2*b^2 = -1 ou 1 , então

(a + 2b)^2 - 2(a + b)^2 = +1 o u - 1 , respectivamente.

b) as frações r_n = (x_n) / (y_n) se aproximam de um limite à medida que n aumenta. Qual é esse limite ? (sugestão : use o item (a) para mostrar que r_n^2 - 2 = ± (1 / y_n)^2 e que y_n não é menor que n.)

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Então para resolvermos a letra (a) desta questão temos que,

1 2 - 2 1 2 = 1  

3 2 - 2 2 2 = 1

Através disso podemos dizer que,

f a , b = a + 2 b 2 - 2 a + b 2 = a 2 + 4 a b + 4 b 2 - 2 a 2 - 4 a b - 2 b 2 = 2 b 2 - a 2 ;   a 2 - 2 b 2 = - 1

f a , b = 2 b 2 - a 2 = 1 ;

a 2 - 2 b 2 = 1

f a , b = 2 b 2 - a 2 = - 1

Passo 2

Já na letra (b), vamos ter que,

r n 2 - 2 = a + 2 b a + b 2 - 2 = a 2 + 4 a b + 4 b 2 - 2 a 2 - 4 a b - 2 b 2 a + b 2 = - a 2 - 2 b a + b 2   = ± 1 y n 2 → r n = 2 ± 1 y n 2

Percebemos que na primeira e na segunda fração y n ≥ n . Deixando a b representar a fração n - 1 onde a b ≥ 1   e   b ≥ n - 1 para n um inteiro positivo ≥ 3 . Agora a enésima fração é a + 2 b a + b e a + b ≥ 2 b ≥ 2 n - 2 ≥ n

y n ≥ n   , com isso

lim n → ∞ ⁡ r n = 2

Resposta

lim n → ∞ ⁡ r n = 2

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