Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.1 - Ex. 78

Convergência e divergência: Quais das sequências { a n } nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.

78. a n = n ( 1   - c o s 1 n )

Passo 1

E aí, galera! Pronto para mais uma questão? Então, vamos lá!

Nessa questão, nós precisamos ver se a sequência é convergente. Para isso, temos que tomar o limite quando n → ∞ e ver se esse limite existe. Para facilitar as coisas, vamos reescrever a sequência de forma que a gente tenha uma indeterminação do tipo 0 0 :

a n = n ( 1   - c o s 1 n ) = 1   -   c o s 1 n 1 / n

porque 1 / n → 0 e c o s 1 n → c o s 0 = 1 quando n → ∞ .

Passo 2

Por causa da indeterminação, nós temos que usar a regra de L’Hôpital:

l i m n → ∞ a n = l i m n → ∞ 1   -   c o s 1 n 1 / n = l i m n → ∞ d d n 1   -   c o s 1 n d d n ( 1 / n ) = l i m n → ∞ -   1 n 2 s e n   1 n -   1 n 2 = l i m n → ∞ s e n   1 n = s e n   0 = 0

Então é isso, nós mostramos que a sequência é convergente e que seu limite é 0 . A gente se vê na próxima!

Resposta

l i m n → ∞ a n = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a n = - 1 nn 3 n 3 + 2 n 2 + 1
11.4. Liste os cinco primeiros termos da sequencia a n = n 2 - 1 n 2 + 1
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. ln ⁡ n ln ⁡ 2 n
3-8. Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.3. ∑ n = 1 ∞ 1 n 5
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a n = 1 + 2 n n