Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.1 - Ex. 17
13-18. Encontre uma fórmula para o termo geral da sequência, assumindo que o padrão dos primeiros termos continue.
17.
Passo 1
Então pessoal, para descobrirmos o termo geral para o padrão que nos foi dado, devemos analisar esses valores quanto: aos sinais, aos numeradores e aos denominadores, ok?
Tá confuso? Fica tranquilo que pouco a pouco vai começar a fazer mais sentido, prometo!
Nossa sequência é essa aqui:
Para isso, devemos analisar esses termos quanto:
- Sinais de cada termo da sequência
- Numeradores
- Denominadores
Vamos analisar então cada um desses pontos pra conseguir encontra uma fórmula para o termo geral ?
Passo 2
Olhando então para a nossa sequência
O sinal dos termos são intercalados, ou seja, uma hora é positivo e outra hora é negativo.
Quando esse tipo de coisa aparece, precisamos de um fator que alterne entre positivo e negativo à medida que aumenta. O termo
Faz exatamente isso! Repara só:
Quando é ímpar, resulta em , onde é um número inteiro, dando um valor positivo.
Da mesma forma, quando é par, resulta em , dando um valor negativo.
Faz sentido esse termo existir porque para cada diferente o sinal muda, e é exatamente o que acontece na nossa sequência. Beleza?
Passo 3
Agora olhando para o numerador, vamos ver que ele apresenta um padrão no formato de , olha só, se a gente supor alguns valores de n veremos que:
Show de bola? Agora vamos verificar o denominador, certo? Olha só, ele vai aumentando de em … Sendo assim, o denominador da nossa expressão terá o formato de .
Agora só precisamos colocar todas essas informações juntas e teremos nossa expressão, beleza?
Uhul! Conseguimos!