Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.1 - Ex. 37

Quais das sequências { a n } nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.

a n = n + 1 2 n ∙ 1 - 1 n

Passo 1

Oie pessoal, vamos lá para mais um exercício! Vamos relembrar que uma sequência é uma lista de números em uma ordem determinada:

a 1 ,   a 2 ,   a 3 ,   … , a n ,   …

Uma sequência a n tem limite L e escrevemos:

lim n → ∞ ⁡ a n = L

  • A sequência converge quando lim n → ∞ ⁡ a n existir;
  • Caso contrário, a sequência diverge.

Se a n e b n forem sequências de números reais, e sejam A e B número reais, então:

lim n → ∞ ⁡ ( a n ∙ b n ) =   lim n → ∞ ⁡ a n ∙ lim n → ∞ ⁡ b n

Passo 2

Sendo assim, iremos calcular o limite da nossa sequência:

lim n → ∞ ⁡ n + 1 2 n ∙ 1 - 1 n

Sabemos que:

lim n → ∞ ⁡ n + 1 2 n ∙ 1 - 1 n = lim n → ∞ ⁡ n + 1 2 n ∙ lim n → ∞ ⁡ 1 - 1 n

Do primeiro termo, temos:

lim n → ∞ ⁡ n + 1 2 n = ∞ ∞

Como temos um limite indeterminado, iremos utilizar a regra de L’Hopital. Onde:

lim n → ∞ ⁡ f x g x = lim n → ∞ ⁡ f ' x g ' x

Então derivando o numerador e o denominador:

lim n → ∞ ⁡ 1 2 = 1 2

E o do segundo termo, sabemos que:

lim n → ∞ ⁡ 1 n = 0

Logo:

lim n → ∞ ⁡ 1 - 1 n = 1

Por fim:

lim n → ∞ ⁡ n + 1 2 n ∙ 1 - 1 n = 1 2 ∙ 1 = 1 2

Como o limite existe, então a sequência converge.

Prontinho pessoal, até mais!

Resposta

A sequência converge, com lim n → ∞ ⁡ a n = 1 / 2 .

Exercícios de Livros Relacionados

Convergência e divergência: Quais das sequências { a n } nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.88. a n = 1 n 2-1- n 2+n
Convergência e divergência: Quais das sequências { a n } nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.90. a n = ∫ 1 n 1 x p d x ,p1
Convergência e divergência: Quais das sequências { a n } nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.84. a n =n 2+n n
Convergência e divergência: Quais das sequências { a n } nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.87. a n = n-n 2- n
Convergência e divergência: Quais das sequências { a n } nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.86. a n = ( l nn ) 5 n