Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.6 - Ex. 22
Use o Teste da Razão para determinar se a série é convergente ou divergente.
22.
Passo 1
E aí galera, tudo bem?
Para resolver essa parada, vamos utilizar o Teste da Razão para analisar a convergência da série.
O teste da Razão é uma técnica que nos ajuda a determinar a convergência de uma série infinita. Ele nos diz que:
- Se , então a série converge.
- Se , então a série diverge.
Para começar, precisamos definir o termo , que representa o próximo termo da sequência. Então, temos:
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão:
Usando a sequência da série que escrevemos, vamos ficar com o seguinte limite:
Passo 2
Invertendo o denominador para fazer o produto:
Simplificando cada termo do produto, sobra só:
Tirando do módulo:
Passo 3
Se aplicarmos o limite dessa maneira, a gente vai ficar com uma indeterminação do tipo , vamos então colocar o em evidência em todos os termos, tanto do denominador quanto do numerador:
Simplificamos :
Passo 4
E aí sim podemos aplicar o limite, os termos tendem para zero sobrando só:
Como , a série é divergente.