Use o Teste da Razão para determinar se a série é convergente ou divergente.

22. 2 / 3 + (2 ∙ 5) / (3 ∙ 5) + (2 ∙ 5 ∙ 8) / (3 ∙ 5 ∙ 7) + (2 ∙ 5 ∙ 8 ∙ 11) / (3 ∙ 5 ∙ 7 ∙ 9) …

Passo 1

E aí galera, tudo bem?

Para resolver essa parada, vamos utilizar o Teste da Razão para analisar a convergência da série.

O teste da Razão é uma técnica que nos ajuda a determinar a convergência de uma série infinita. Ele nos diz que:

  • Se lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n < 1 , então a série ∑ n = 1 ∞ a n converge.
  • Se lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n > 1 , então a série ∑ n = 1 ∞ a n diverge.

Para começar, precisamos definir o termo a n + 1 , que representa o próximo termo da sequência. Então, temos:

a n + 1 = 2 ∙ 5 ∙ 8 ∙ 11 ∙ … ∙ ( 3 n + 2 ) 3 ∙ 5 ∙ 7 ∙ 9 ∙ … ∙ ( 2 n + 3 )

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

Usando a sequência da série que escrevemos, vamos ficar com o seguinte limite:

L = lim n → ∞ ⁡ 2 ∙ 5 ∙ 8 ∙ 11 ∙ … ∙ ( 3 n + 2 ) ( 3 ( n + 1 ) + 2 ) 3 ∙ 5 ∙ 7 ∙ 9 ∙ … ∙ ( 2 n + 3 ) ( 2 ( n + 1 ) + 3 ) 2 ∙ 5 ∙ 8 ∙ 11 ∙ … ∙ ( 3 n + 2 ) 3 ∙ 5 ∙ 7 ∙ 9 ∙ … ∙ ( 2 n + 3 )

Passo 2

Invertendo o denominador para fazer o produto:

L = l i m n → ∞ 2   .   5   .   8   .   11   .   …   . ( 3 n + 2 ) . ( 3 n + 5 ) 3   .   5   .   7   .   9   .   …   . ( 2 n + 3 ) . ( 2 n + 5 )   3   .   5   .   7   .   9   .   …   . ( 2 n + 3 ) 2   .   5   .   8   .   11   .   …   . ( 3 n + 2 )

Simplificando cada termo do produto, sobra só:

L = l i m n → ∞ 3 n + 5 2 n + 5

Tirando do módulo:

L = l i m n → ∞ 3 n + 5 2 n + 5

Passo 3

Se aplicarmos o limite dessa maneira, a gente vai ficar com uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ , vamos então colocar o n em evidência em todos os termos, tanto do denominador quanto do numerador:

L = l i m n → ∞ n 3 + 5 n n 2 + 5 n

Simplificamos n :

L = l i m n → ∞ 3 + 5 n 2 + 5 n

Passo 4

E aí sim podemos aplicar o limite, os termos 5 / n tendem para zero sobrando só:

L = 3 2

Como L > 1 , a série é divergente.

Resposta

D i v e r g e n t e

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