1. Os pontos P 1 e P 2 são fontes ou sorvedouros no campo vetorial F → mostrado na figura? Dê uma explicação baseada exclusivamente na figura.
  2. Dado que F → x , y = x , y 2 , use a definição de divergente para verificar sua resposta da parte a .

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Vamos ver o que a questão quer!

Ela mostra uma figura

E diz para nós determinarmos se nos pontos P 1 e P 2 temos uma fonte ou sorvedouro, apenas pela figura.

Depois ela dá um campo vetorial

F → x , y = x , y 2

E pede para usar a definição do divergente para tirar a prova real das respostas.

Sendo que o divergente em duas dimensões pode ser calculado assim:

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x F x + ∂ ∂ y F y

Atenção aqui!!!

O fluxo será positivo quando tivermos a taxa líquida dele saindo e esse ponto será uma fonte.

O fluxo será negativo quando tivermos a taxa líquida dele entrando e esse ponto será um sorvedouro.

E o divergente acompanha o sinal do fluxo!

Tudo bem, mas o que é a taxa líquida?

É como se fosse o lucro, se entrou mais dinheiro que saiu, você está no lucro! Mas se tratando de fluxo a gente inverte, ou seja, estamos no negativo!

Então, vamos analisar o gráfico vendo essa taxa líquida para cada ponto e depois verificaremos nossas respostas com usando o divergente, ok?

Bora lá?

Passo 2

Começando a letra a), Vamos analisar esse gráfico.

Primeiro em P 1 :

Observe que as linhas de campo que estão saindo nesse ponto são maiores do que as que estão entrando. Então, o fluxo líquido é saindo, temos uma fonte ali.

Sendo assim, se temos um fluxo positivo temos um divergente positivo

Portanto

∇ ⋅ F → > 0

Passo 3

Agora vamos ao outro ponto.

Dá uma olhada em P 2 :

Observe que as linhas de campo que estão entrando nesse ponto são maiores do que as que estão saindo. Então, o fluxo líquido é entrando, temos um sorvedouro aí.

Sendo assim, se temos um fluxo negativo temos um divergente negativo

Portanto

∇ ⋅ F → < 0

Passo 4

Agora, vamos começar a letra b)

Primeiro, analisar o divergente do campo para P 1

O campo é

F → = x i → + y 2 j →

E seu divergente é:

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x x + ∂ ∂ y y 2 = 1 + 2 y

No caso de P 1 temos que

x < 0

Mas não influencia no sinal do divergente porque ele não depende de x

E temos que

y > 0

E como ele é o único que influencia no sinal, temos a soma de dois números positivos, logo,

O divergente será positivo!

∇ ⋅ F → = 1 + 2 y > 0

Ou seja, nesse ponto temos uma fonte. Assim como achamos antes.

Passo 5

Agora vamos analisar o divergente do campo para P 2

O campo é

F → = x i → + y 2 j →

E seu divergente é:

∇ ⋅ F → = 1 + 2 y

No caso de P 2 temos que

x > 0

Mas ele não influencia. E que temos que

y < 0

E olhando na figura, ele é maior que metade de 1

E como ele é o único que influencia no sinal, temos a diferença entre dois números, logo,

O divergente será negativo!

∇ ⋅ F → = 1 + 2 y < 0

Ou seja, nesse ponto temos um sorvedouro. Assim como achamos antes!

Resposta

a P 1 f o n t e ; P 2   s o r v e d o u r o .

b P 1 :   ∇ ⋅ F → = 1 + 2 y > 0   ; P 2 ∇ ⋅ F → = 1 + 2 y < 0

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