Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.9 - Ex. 20
- Os pontos e são fontes ou sorvedouros no campo vetorial mostrado na figura? Dê uma explicação baseada exclusivamente na figura.
- Dado que , use a definição de divergente para verificar sua resposta da parte
Passo 1
Oi galera, tudo bem? Vamos ver o que a questão quer!
Ela mostra uma figura
E diz para nós determinarmos se nos pontos e temos uma fonte ou sorvedouro, apenas pela figura.
Depois ela dá um campo vetorial
E pede para usar a definição do divergente para tirar a prova real das respostas.
Sendo que o divergente em duas dimensões pode ser calculado assim:
Atenção aqui!!!
O fluxo será positivo quando tivermos a taxa líquida dele saindo e esse ponto será uma fonte.
O fluxo será negativo quando tivermos a taxa líquida dele entrando e esse ponto será um sorvedouro.
E o divergente acompanha o sinal do fluxo!
Tudo bem, mas o que é a taxa líquida?
É como se fosse o lucro, se entrou mais dinheiro que saiu, você está no lucro! Mas se tratando de fluxo a gente inverte, ou seja, estamos no negativo!
Então, vamos analisar o gráfico vendo essa taxa líquida para cada ponto e depois verificaremos nossas respostas com usando o divergente, ok?
Bora lá?
Passo 2
Começando a letra a), Vamos analisar esse gráfico.
Primeiro em
Observe que as linhas de campo que estão saindo nesse ponto são maiores do que as que estão entrando. Então, o fluxo líquido é saindo, temos uma fonte ali.
Sendo assim, se temos um fluxo positivo temos um divergente positivo
Portanto
Passo 3
Agora vamos ao outro ponto.
Dá uma olhada em
Observe que as linhas de campo que estão entrando nesse ponto são maiores do que as que estão saindo. Então, o fluxo líquido é entrando, temos um sorvedouro aí.
Sendo assim, se temos um fluxo negativo temos um divergente negativo
Portanto
Passo 4
Agora, vamos começar a letra b)
Primeiro, analisar o divergente do campo para
O campo é
E seu divergente é:
No caso de temos que
Mas não influencia no sinal do divergente porque ele não depende de
E temos que
E como ele é o único que influencia no sinal, temos a soma de dois números positivos, logo,
O divergente será positivo!
Ou seja, nesse ponto temos uma fonte. Assim como achamos antes.
Passo 5
Agora vamos analisar o divergente do campo para
O campo é
E seu divergente é:
No caso de temos que
Mas ele não influencia. E que temos que
E olhando na figura, ele é maior que metade de
E como ele é o único que influencia no sinal, temos a diferença entre dois números, logo,
O divergente será negativo!
Ou seja, nesse ponto temos um sorvedouro. Assim como achamos antes!