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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.6 - Ex. 14

13-30 Calcule a integral usando a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo.

14 ∫ - 1 2 4 x ( 1 - x 2 ) d x

Passo 1

Antes de começarmos a fazer a questão, falarei a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo. Ele é assim:

Se f for contínua em [ a , b ] e F for uma antiderivada de f em [ a , b ] , então:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Passo 2

Então, nossa ideia é acharmos a antiderivada e para isso faremos a integral indefinida abaixo:

∫ - 1 2 4 x 1 - x 2 d x = ∫ - 1 2 4 x - 4 x 3 d x = 4 x 2 2 - 4 x 4 4 + C = 2 x 2 - x 4 + C

Nossa antiderivada é:

F x = 2 x 2 - x 4

Passo 3

Agora vamos calcular a integral definida:

∫ - 1 2 4 x 1 - x 2 d x = F 2 - F ( - 1 )

Lembrando que

F x = 2 x 2 - x 4

Vamos calcular

F 2 = 2 2 2 - 2 4 = 2 × 4 - 16 = 8 - 16 = - 8

F - 1 = 2 - 1 2 - - 1 4 = 2 × 1 - 1 = 2 - 1 = 1

Voltando para a integral definida:

∫ - 1 2 4 x 1 - x 2 d x = - 8 - 1 = - 8 - 1 = - 9

Resposta

∫ - 1 2 4 x 1 - x 2 d x = - 9

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