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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.4 - Ex. 9

Calcule as integrais nos Exercícios 1-34.

9. int_0^((pi)/(3)) 2 s e c^2 x d x

Passo 1

Então galera, essa questãozinha difere um pouco das outras que resolvemos, mas essa aqui também é tranquila de resolver, não se assustem! Antes de tudo, podemos reescrever a integral assim:

2 int_0^((pi)/(3)) s e c ² x d x

Para resolvermos essa questão, devemos utilizar o raciocínio do teorema fundamental do cálculo, ok? Temos que pensar o seguinte: qual é a função que quando derivada dá o integrando? Isto é:

F^' (x) = (d)/(d x) int_0^x f ( t ) d t = f ( x )

Parece um bicho de 7 cabeças, não é mesmo? Mas fazendo algumas questões já fica claro que não é. Se liga!

Passo 2

Qual função que derivamos e que dá s e c ² x ? Essa função é t g x . Sendo assim, teremos:

2 int_0^((pi)/(3)) s e c ² x d x = [ 2 . t g (x) ] ((pi)/(3))/(0)

2 int_0^((pi)/(3)) s e c ² x d x = 2 . (t g (pi)/(3) - t g 0)

Como t g (pi)/(3) = sqrt(3) e t g 0 = 0 , então se substituirmos teremos o seguinte:

2 int_0^((pi)/(3)) s e c ² x d x = 2 . (sqrt(3) - 0)

:. int_0^((pi)/(3)) 2 s e c ² x d x = 2 sqrt(3)

E essa é a nossa resposta! 😉

Resposta

int_0^((pi)/(3)) 2 s e c ² x d x = 2 sqrt(3)

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