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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.5 - Ex. 17

Calcule a integral.

int x sen^2 x d x

Passo 1

Vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: a expressão já está simplificada, então vamos ver se dá para usar Substituição Simples. Infelizmente não tem nenhuma parte dentro da integral que seja derivada dela, então vamos tentar Integração por Partes:

int f (x) g^' (x) d x = f (x) g (x) - int g (x) f^' (x) d x

Vamos ver o que usamos como f (x) e g ' (x) : se usarmos f (x) = sen^2 x e g ' (x) = x d x vamos ter f^' (x) = 2 sen x cos x e g (x) = (x^2)/(2) , vamos ter a integral:

int g (x) f^' (x) d x = int (x^2)/(2) 2 sen x cos x d x

que nada nos ajuda, vamos então tentar de outra forma.

Vamos fazer então f (x) = x e g ' (x) = sen^2 x d x :

f^' (x) = 1 e g (x) = int sen^2 x d x

Passo 2

Vamos calcular g (x) antes de fazer a substituição.

g (x) = int sen^2 x d x

Aqui vamos usar a identidade trigonométrica:

sen^2 x = (1)/(2) (1 - cos 2 x)

Assim:

int sen^2 x d x = int (1)/(2) (1 - cos 2 x) d x = int (1)/(2) d x + int - (cos 2 x)/(2) d x

Para achar as primitivas da função, vamos usar três expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int k d x = k x + C

int cos x d x = sen x + C

Assim:

int sen^2 x d x = int (1)/(2) d x + int - (cos 2 x)/(2) d x = (1)/(2) x - (1)/(2) int cos 2 x d x

Nessa integral que falta, vamos fazer uma substituição:

u = 2 x

d u = 2 d x -> d x = (d u)/(2)

int sen^2 x d x = (1)/(2) x - (1)/(2) int (cos u)/(2) d u

Vamos substituir agora:

g (x) = int sen^2 x d x = (1)/(2) x - (1)/(2) int (cos u)/(2) d u = (1)/(2) x - (1)/(4) int cos u d u = (1)/(2) x - (1)/(4) sen u = (1)/(2) x - (1)/(4) sen 2 x

Passo 3

Pronto, agora temos tudo que precisamos para usar a Integração por Partes:

int x sen^2 x d x = x . ((1)/(2) x - (1)/(4) sen 2 x) - int ((1)/(2) x - (1)/(4) sen 2 x) d x = (1)/(2) x^2 - (1)/(4) x sen 2 x - int (1)/(2) x d x - int - (1)/(4) sen 2 x d x

Vamos calcular as duas separadamente:

Para achar as primitivas da função, vamos usar duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Assim:

int (1)/(2) x d x = (1)/(2) int x d x = (1)/(2) * ((x^(1 + 1))/(1 + 1)) = (x^2)/(4) + C

Agora a outra, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int sen x d x = - cos x + C

Vamos lá:

int - (1)/(4) sen 2 x d x = - (1)/(4) int sen 2 x d x

Essa integral é similar a calculada no passo 2 , a diferença é a mudança do cosseno para o seno, e o sinal envolvido:

int - (1)/(4) sen 2 x d x = - (1)/(4) int sen 2 x d x = (1)/(8) cos 2 x + C

Agora é só juntar tudo:

int x sen^2 x d x = (1)/(2) x^2 - (1)/(4) x sen 2 x - int (1)/(2) x d x - int - (1)/(4) sen 2 x d x = (1)/(2) x^2 - (1)/(4) x sen 2 x - (x^2)/(4) - (1)/(8) cos 2 x + C = (x^2)/(4) - (1)/(4) x sen 2 x - (1)/(8) cos 2 x + C

Resposta

int x sen^2 x d x = (x^2)/(4) - (1)/(4) x sen 2 x - (1)/(8) cos 2 x + C

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