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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 58

Calcule a integral.

int (x ln x)/(sqrt(x^2 - 1)) d x

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: vamos tentar fazer uma Substituição, pois temos uma raiz, vamos lá:

Vamos fazer a mudança de variável:

u = sqrt(x^2 - 1) -> u^2 = x^2 - 1 -> x = sqrt(u^2 + 1)

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

2 u d u = 2 x d x -> x d x = u d u

Fazendo a substituição ficamos com:

int (x ln x)/(sqrt(x^2 - 1)) d x = int (u ln sqrt(u^2 + 1))/(u) d u = int ln sqrt(u^2 + 1) d u = int ln (u^2 + 1)^((1)/(2)) d u = int (1)/(2) ln (u^2 + 1) d u = (1)/(2) int ln (u^2 + 1) d u

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 2

Vamos usar Integração por Partes agora:

int f (x) g^' (x) d x = f (x) g (x) - int g (x) f^' (x) d x

Vamos fazer então f (u) = ln (u^2 + 1) e g ' (u) = d u :

f^' (u) = (2 u)/(u^2 + 1) e g (u) = u

Vamos substituir agora:

(1)/(2) int ln (u^2 + 1) d u = (1)/(2) ln (u^2 + 1) u - (1)/(2) int u * (2 u)/(u^2 + 1) d u = (ln (u^2 + 1) u)/(2) - (1)/(2) int (2 u^2)/(u^2 + 1) d u = (ln (u^2 + 1) u)/(2) - int 1 - (1)/(u^2 + 1) d u = (ln (u^2 + 1) u)/(2) - int 1 d u + int (1)/(u^2 + 1) d u

Pronto, agora temos uma integral simples de resolver, vamos lá.

Passo 3

Agora é fácil achar a primitiva da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int k d x = k x + C

int (d x)/(x^2 + a^2) = (1)/(a) tg^(- 1) ((x)/(a)) + C

Então ficamos com:

int ln (u^2 + 1) d u = ln (u^2 + 1) u - int 1 d u + int (1)/(u^2 + 1) d u = ln (u^2 + 1) u - u + (1)/(1) tg^(- 1) ((u)/(1)) + C = ln (u^2 + 1) u - u + tg^(- 1) (u) + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (x ln x)/(sqrt(x^2 - 1)) d x = (1)/(2) int ln (u^2 + 1) d u = (ln (u^2 + 1) u)/(2) - int 1 d u + int (1)/(u^2 + 1) d u = (ln (u^2 + 1) u)/(2) - u + tg^(- 1) (u) + C = (ln ((sqrt(x^2 - 1))^2 + 1) sqrt(x^2 - 1))/(2) - sqrt(x^2 - 1) + tg^(- 1) (sqrt(x^2 - 1)) + C = (ln (x^2) sqrt(x^2 - 1))/(2) - sqrt(x^2 - 1) + tg^(- 1) (sqrt(x^2 - 1)) + C = (2 ln (x) sqrt(x^2 - 1))/(2) - sqrt(x^2 - 1) + tg^(- 1) (sqrt(x^2 - 1)) + C = ln (x) sqrt(x^2 - 1) - sqrt(x^2 - 1) + tg^(- 1) (sqrt(x^2 - 1)) + C

Resposta

int (x ln x)/(sqrt(x^2 - 1)) d x = ln (x) sqrt(x^2 - 1) - sqrt(x^2 - 1) + tg^(- 1) (sqrt(x^2 - 1)) + C

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