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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 34

1-38 Calcule a integral.

34. int_1^2 x a r c s e c x d x

Passo 1

Galeraaaa,a gente vai resolver usando o método de integração por partes. Então, primeiro vamos ver quem vai ser o nosso u e o nosso d v . Que tal usarmos aquele macete, hein?! O famoso L I A T E .

Se você não sabe, é um macete que eu super recomendo você gravar. É muiiiito fácil e ajuda bastante.

l -> f u n ç õ e s l o g a r í t m i c a s

i -> i n v e r s a s t r i g o n o m é t r i c a s

a -> f u n ç õ e s a l g é b r i c a s

t -> f u n ç õ e s t r i g o n o m é t r i c a s

e -> f u n ç õ e s e x p o n e n c i a i s

Para escolher o nosso u , é só seguir essa ordem de preferência que começa de cima para baixo.

Então, sejam u = arcsec x e x d x = d v .

{[[u = arcsec x -> d u = (d x)/(x sqrt(1 - x^2))],[x d x = d v -> v = (x^2)/(2)]])

Passo 2

Assim, vamos ter que

int_1^2 x a r c s e c x d x = ((x^2)/(2) arcsec x|_1^2 - (1)/(2) int_1^2 (x^2)/(x sqrt(1 - x^2)) d x

((x^2)/(2) arcsec x|_1^2 - (1)/(2) int_1^2 (x)/(sqrt(1 - x^2)) d x

Agora ficou fácil, né?!

Para resolver a integral do lado direito é só fazer uma substituição simples. Para tanto, denote

u = 1 - x^2 -> - (d u)/(2) = x d x

Assim, vemos que

int (x)/(sqrt(1 - x^2)) d x = - (1)/(2) int (d u)/(sqrt(u )) = - sqrt(u)

Voltando para a nossa integral... lembre-se de fazer a substituição correta da variável u .

- (1)/(2) int_1^2 (x)/(sqrt(1 - x^2)) d x = (1)/(2) (sqrt(1 - x^2)|_1^2 = (1)/(2) sqrt(- 3) - 0 = (sqrt(- 3))/(2)

Por último, é só a gente calcular isso aqui

((x^2)/(2) arcsec x|_1^2

Molezaaa!!!

((x^2)/(2) arcsec x|_1^2 = 2 a r c s e c 2 - (a r c s e c 1)/(2) = 2 a r c s e c 2

Somando as respostas, vemos que

int_1^2 x a r c s e c x d x = 2 a r c s e c 2 + (sqrt(- 3))/(2)

Resposta

2 a r c s e c 2 + (sqrt(- 3))/(2)

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