14. Determine o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo da região limitada por , , e . (A região está situada nos primeiro e terceiro quadrantes, e assemelha-se a uma gravata-borboleta inclinada.)
Passo 1
Se nós desenharmos a função vamos ver que ela é dessa forma:
Usando o método do disco essa questão fica simples de resolver.
O raio do disco é igual ao valor da função ,
perceba que não importa se o valor da função é negativo ou positivo, quando calculamos a área do disco esse valor é elevado ao quadrado:
Por fim, para descobrirmos o volume só precisamos aplicar a área na fórmula:
Vamos usar a identidade trigonométrica
e reescrever a equação:
Integral de 1 é e a integral de é , então o volume fica: