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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 6.2 - Ex. 6

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos.

y = ln ⁡ x ,   y = 1 ,   y = 2 ,   x = 0 ; em torno do eixo y

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! Temos uma região limitada pelas seguintes retas:

y = ln ⁡ x ,   y = 1 ,   y = 2 ,   x = 0

Se a gente rotacionar essa região em torno do eixo y obtemos um sólido. O enunciado pede pra a gente encontrar o volume edsse sólido! Para isso vamos usar a seguinte fórmula:

V = ∫ a b A x d x

Além disso precisamos esboçar a região, o sólido e um disco ou arruela típicos que respresente a secção transversal!

Vamos colocar a mão na massa!

Passo 2

Vamos começar desenhando a região delimitada pelas curvas:

y = ln ⁡ x

  y = 1

  y = 2

  x = 0

Temos que a área é representada pela figura abaixo:

Observando esse gráfico percebemos que os limites de integração são: a = 1 e b = 2 .

Passo 3

Quando rotacionarmos a área acima temos um volume com secção transversal circular e o seu raio vai ser igual a reta:

y = ln ⁡ x

Mas aqui a gente vai integrar com respeito a y então precisamos isolar o x :

x = e y

Essa é a curva que limita a nossa região! Agora vamos esboçar o sólido e o disco:

Essa região sombreada é o disco que representa a secção transversal no sólido!

Passo 4

Para calcular o volume temos:

V = ∫ a b A y d y

Essa área é dada por:

A y = π r 2

A y = π e y 2

A y = π e y 2

Substituindo na fórmula do volume:

V = ∫ 1 2 π e y 2 d y

Passo 5

Vamos integrar:

V = π ∫ 1 2 e y 2 d y = e 2 y 2 1 2

Aplicando os limites de integração:

V = π 2 e 4 - e 2

Prontinho!

Resposta

V = π 2 e 4 - e 2

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