Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 6.2 - Ex. 3
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos.
em torno do eixo
Passo 1
Opa, bora resolver esse problema! Temos uma região limitada pelas seguintes retas:
Se a gente rotacionar essa região em torno do eixo obtemos um sólido. O enunciado pede pra a gente encontrar o volume edsse sólido! Para isso vamos usar a seguinte fórmula:
Além disso precisamos esboçar a região, o sólido e um disco ou arruela típicos que respresente a secção transversal!
Vamos colocar a mão na massa!
Passo 2
Vamos começar desenhando a região delimitada pelas curvas:
Temos que a área é representada pela figura abaixo:
Observando esse gráfico percebemos que os limites de integração são: e .
Passo 3
Quando rotacionarmos a área acima temos um volume com secção transversal circular e o seu raio vai ser igual a reta:
Que é a curva que limita a nossa região! Agora vamos esboçar o sólido e o disco:
Essa região sombreada é o disco que representa a secção transversal no sólido!
Passo 4
Para calcular o volume temos:
Essa área é dada por:
Substituindo na fórmula do volume e calculando a integral:
Prontinho!