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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.Exercícios Práticos - Ex. 31

Resolva a equação diferencial

(d y)/(d x) = sqrt(y) * cos^2 sqrt(y)

Passo 1

Podemos perceber que a equação diferencial é separável, já que é possível separar o que tem x de um lado e o que tem y do outro, dessa forma teremos

(d y)/(d x) = sqrt(y) * cos^2 sqrt(y)

d y = sqrt(y) * cos^2 sqrt(y) d x

(d y)/(sqrt(y) * cos^2 sqrt(y)) = d x (sec^2 sqrt(y) d y)/(sqrt(y)) = d x

Passo 2

Agora, podemos integrar ambos os lados e vamos chegar em

int (sec^2 sqrt(y) d y)/(sqrt(y)) = int d x

Podemos resolver essas duas equações de maneira separada e juntar os resultados, então

(i) : int d x = x + C 1

(i i) : int (sec^2 sqrt(y) d y)/(sqrt(y)) =

Fazendo a seguinte substituição simples u = sqrt(y) -> (d u)/(d y) = (1)/(2 sqrt(y)) -> 2 d u = (d y)/(sqrt(y))

int 2 * sec^2 u d u = 2 * t g (u) + C 2

Retornando pra variável y

(i i) = 2 * t g (sqrt(y)) + C 2

Juntando ambos os resultados e fazendo C = C 1 - C 2

x + C = 2 * t g (sqrt(y)) t g (sqrt(y)) = (x)/(2) + (C)/(2)

sqrt(y) = A r c t g ((x)/(2) + (C)/(2)) -> y = [A r c t g ((x)/(2) + (C)/(2))]^2

Resposta

y = [A r c t g ((x)/(2) + (C)/(2))]^2

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O gráfico de uma função está mostrado na figura. Faça um esboço de uma primitiva de F , dado que F 0 = 1 .
Encontre f .f^(' ') (x) = 2 + cos x , f (0) = - 1 , f (pi // 2) = 0
Encontre f . f ' ' t = 2 e t + 3 s e nt , f 0 = 0 ,f π = 0
Encontre f .f^(' ') (x) = 2 - 12 x , f (0) = 9 , f (2) = 15
Encontre f . f ' ' x = x - 2 ,x0 , f 1 = 0 ,f 2 = 0