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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 6.2 - Ex. 4

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos.

y = 25 - x 2 ,   y = 0 ,   x = 2 ,   x = 4 ;           e m   t o r n o   d o   e i x o   x

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! Temos uma região limitada pelas seguintes retas:

y = 25 - x 2 ,   y = 0 ,   x = 2 ,   x = 4 ;

Se a gente rotacionar essa região em torno do eixo x obtemos um sólido. O enunciado pede pra a gente encontrar o volume edsse sólido! Para isso vamos usar a seguinte fórmula:

V = ∫ a b A x d x

Além disso precisamos esboçar a região, o sólido e um disco ou arruela típicos que respresente a secção transversal!

Vamos colocar a mão na massa!

Passo 2

Vamos começar desenhando a região delimitada pelas curvas:

y = 25 - x 2

  y = 0

x = 2

  x = 4

Temos que a área é representada pela figura abaixo:

Observando esse gráfico percebemos que os limites de integração são: a = 4 e b = 2 .

Passo 3

Quando rotacionarmos a área acima temos um volume com secção transversal circular e o seu raio vai ser igual a reta:

y = 25 - x 2

Que é a curva que limita a nossa região! Agora vamos esboçar o sólido e o disco:

Essa região sombreada é o disco que representa a secção transversal no sólido!

Passo 4

Para calcular o volume temos:

V = ∫ a b A x d x

Essa área é dada por:

A x = π r 2

A x = π 25 - x 2 2

A ( x ) = π 25 - x 2

Substituindo na fórmula do volume:

V = ∫ 2 4 π 25 - x 2 d x =

V = π ∫ 2 4 25 - x 2 d x

Passo 5

Vamos integrar:

V = π ∫ 2 4 25 - x 2 d x = π 25 x - x 3 3 2 4

V = π 100 - 50 - 64 3 + 8 3

V = 94 3 π

Prontinho!

Resposta

V = 94 3 π

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