Encontre as dimensões do retângulo com a maior área que pode ser inscrito em um triângulo equilátero com lado se um dos lados do retângulo estiver sobre a base do triângulo.

Para encontrarmos as dimensões pedidas, utilizaremos semelhança de triângulos, comparando o triângulo retângulo de altura e , com o triângulo menor preenchido de amarelo,

formando a seguinte equação:

Temos a fórmula dependendo de muitas variáveis, então vamos fazer a altura depender de usando Pitágoras:

Isolando a altura, teremos:

E fazendo o quadrado de , teremos:

Agora vamos tirar o mmc entre os denominadores e subtrair as frações. Assim, ficamos com:

E para deixar sozinha, basta tirar a raiz quadrada dos dois lados da equação, assim:

Agora vamos substituir essa altura na fórmula de semelhança para isolarmos mais uma variável e tornar a equação possível de resolver:

Sendo

Substituindo, ficamos com:

Agora vamos multiplicar cruzado tudo isso aí:

Podemos cortar dos dois lados da equação, e teremos:

E isolando , ficamos com:

Ou melhor, colocando em evidência:

Agora vamos pensar no que a gente está procurando. Queremos as dimensões do retângulo com a maior área. E a área de um retângulo

Substituir na fórmula da área, ficamos com:

E fazendo a distributiva, ficamos com:

Como queremos a maior área, vamos maximizar , derivando sua expressão e igualando a zero.

Sendo

Sua derivada será:

Igualando a zero, ficamos com:

E resolvendo temos:

E isolando o , ficamos com:

Substituindo em :

E essas são as dimensões do maior retângulo possível.