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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.8 - Ex. 18

Um tanque retangular aberto deve ter uma base quadrara e seu volume deve ser de 125   m ³ . O custo por metro quadrado é de $   24 para a base e de $   12 para os lados. Ache as dimensões do tanque cujo custo total do material seja mínimo.

Passo 1

Seja x e y   as dimensões do nosso tanque, representado na figura abaixo. Sabemos que o volume do tanque é 125   m ³ . Vamos escrever a expressão que representa a área.

V = x ² y = 125   m 3 x ² y = 125 x ² y = 125 y = 125 x ²

Passo 2

A expressão que representa o custo do material será:

C = 24 x 2 + 12 * 4 x y = 24 x 2 + 48 x y Substituindo o valor de y na expressão acima temos:

C = 24 x 2 + 48 x * 125 x 2 C = 24 x 2 + 48 * 125 x C = 24 x 2 + 6000 x

Queremos que o custo seja mínimo. Para isso, vamos derivar a expressão acima em relação a x e igualar a zero.

d C d x = 0 = 48 x - 6000 x 6 0 00 x 2 = 48 x x 3 = 60 00 48 x 3 = 125 x = 5   m

Passo 3

Agora que encontramos o valor de y vamos substituir lá naquela expressão oriunda do volume, que encontramos no passo 1.

y = 125 5 y = 2 5   m

Resposta

Portanto, as dimensões do tanque são:

x = 5 m   e   y = 25   m

O custo mínimo será:

C = 24 * 5 2 + 48 * 5 * 25 C = 600 + 6000 C = $   6600

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