Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 1.5 - Ex. 2

1-4. Seja a função cujo gráfico é dado. Em quais (se houver) dos intervalos seguintes é contínua?

2.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Passo 1

Então pessoal, antes de respondermos as questões, devemos lembrar de um pequeno detalhe, que é a notação de e em intervalos! Quando há parênteses, isso implica que o intervalo é aberto, ou seja, a função não precisa estar definida exatamente no valor do intervalo, ok? Por outro lado, quando há colchetes, isso implica que o intervalo é fechado e a função está definida exatamente no valor do intervalo!

Outra coisa que vale ressaltar é que o limite não existe se os limites laterais não existirem, beleza? Sabendo disso já podemos responder as questões, então bora lá!

a) Então pessoal, aqui temos um pequeno problema, que é o seguinte: o limite quando é diferente do valor da função em , ou seja:

Que é uma incoerência no intervalo! Sendo assim, a conclusão é de que o intervalo não é contínuo.

b) Exatamente pelo mesmo motivo da letra a), podemos dizer que o intervalo não é contínuo. A única diferença aqui é que o intervalo é aberto e o da letra a) é fechado, mas ainda sim possui descontinuidade em .

Passo 2

c) Então pessoal, aqui temos um pequeno problema, que é o seguinte: o limite quando pela esquerda é diferente do valor da função em , ou seja:

Que é uma incoerência no intervalo! Sendo assim, a conclusão é de que o intervalo não é contínuo.

d) Como dito no passo anterior, esse intervalo é aberto, ou seja, a função não está definida exatamente no valor do intervalo. Dessa forma, não nos interessa no valor da função em , apenas nos valores ENTRE e . Sendo assim, podemos afirmar que o intervalo é contínuo.

Passo 3

e) Então pessoal, aqui temos um pequeno problema, que é o seguinte: o limite quando pela direita é diferente do valor da função em , ou seja:

Que é uma incoerência no intervalo! Sendo assim, a conclusão é de que o intervalo não é contínuo.

f) Pelo mesmo motivo da letra d) podemos dizer que o intervalo em questão é contínuo. Como o intervalo é aberto, não interessa se a função está definida nos extremos, apenas ENTRE esses extremos.