1-4. Seja f a função cujo gráfico é dado. Em quais (se houver) dos intervalos seguintes f é contínua?

2.

a) [1, 3]

b) (1, 3)

c) [1, 2]

d) (1, 2)

e) [2, 3]

f) (2, 3)

Passo 1

Então pessoal, antes de respondermos as questões, devemos lembrar de um pequeno detalhe, que é a notação de ( ) e [ ] em intervalos! Quando há parênteses, isso implica que o intervalo é aberto, ou seja, a função não precisa estar definida exatamente no valor do intervalo, ok? Por outro lado, quando há colchetes, isso implica que o intervalo é fechado e a função está definida exatamente no valor do intervalo!

Outra coisa que vale ressaltar é que o limite não existe se os limites laterais não existirem, beleza? Sabendo disso já podemos responder as questões, então bora lá!

a) Então pessoal, aqui temos um pequeno problema, que é o seguinte: o limite quando x → 2 é diferente do valor da função em x = 2 , ou seja:

lim x → 2 ⁡ f x ≠ f 2

Que é uma incoerência no intervalo! Sendo assim, a conclusão é de que o intervalo não é contínuo.

b) Exatamente pelo mesmo motivo da letra a), podemos dizer que o intervalo não é contínuo. A única diferença aqui é que o intervalo é aberto e o da letra a) é fechado, mas ainda sim possui descontinuidade em x = 2 .

Passo 2

c) Então pessoal, aqui temos um pequeno problema, que é o seguinte: o limite quando x → 2 pela esquerda é diferente do valor da função em x = 2 , ou seja:

lim x → 2 - ⁡ f x ≠ f 2

Que é uma incoerência no intervalo! Sendo assim, a conclusão é de que o intervalo não é contínuo.

d) Como dito no passo anterior, esse intervalo é aberto, ou seja, a função não está definida exatamente no valor do intervalo. Dessa forma, não nos interessa no valor da função em x = 2 , apenas nos valores ENTRE 1 e 2 . Sendo assim, podemos afirmar que o intervalo é contínuo.

Passo 3

e) Então pessoal, aqui temos um pequeno problema, que é o seguinte: o limite quando x → 2 pela direita é diferente do valor da função em x = 2 , ou seja:

lim x → 2 + ⁡ f x ≠ f 2

Que é uma incoerência no intervalo! Sendo assim, a conclusão é de que o intervalo não é contínuo.

f) Pelo mesmo motivo da letra d) podemos dizer que o intervalo em questão é contínuo. Como o intervalo é aberto, não interessa se a função está definida nos extremos, apenas ENTRE esses extremos.

Resposta

a) Não é contínuo.

b) Não é contínuo.

c) Não é contínuo.

d) É contínuo.

e) Não é contínuo.

f) É contínuo.

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