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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 1.4 - Ex. 12

9-16. São dados um número positivo ϵ e o limite L de uma função f no ponto a . Encontre um número δ tal que f x - L < ϵ se 0 < x - a < δ .

12. lim x → - 1 2 ⁡ 4 x 2 - 1 2 x + 1 = - 2 ,   ϵ = 0,05

Passo 1

Então pessoal, antes de começarmos a resolução vamos retomar os dados que temos, ok?

f x = 4 x 2 - 1 2 x + 1 = 2 x - 1 . 2 x + 1 2 x + 1 = 2 x - 1

ϵ = 0,0 5

L = - 2

a = - 1 2

Ok, é isso que nos interessa! Agora utilizando o formalismo de limites, temos que:

f x - L < ϵ

2 x - 1 - - 2 < 0,05

2 x + 1 2 < 0,5

x + 1 2 < 0,025

Ok, encontramos uma restrição.

Passo 2

A restrição que encontramos só é válida se:

0 < x - a < δ

0 < x - - 1 2 < δ

0 < x + 1 2 < δ

Sendo assim, comparando as restrições, temos que:

δ = 0,025

E esse é o nosso resultado, pessoal!

Resposta

δ = 0,025

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lim t → 4 ⁡ 2 t t 2 - 4
lim x → 2 ⁡ x - 1 3
lim x → 3 ⁡ x 2 - 5
Prove que se f x = g x para todos os valores de x , exceto x = a , então se lim x → a ⁡ g x não existir, o lim x → a ⁡ f x também não existirá. (Sugestão: mostre que a hipótese de que lim x → a ⁡ f x
Prove que se f x = g x para todos os valores de x , exceto x = a , então lim x → a ⁡ f x = lim x → a ⁡ g x , se todos os limites existirem.