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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.8 - Ex. 3

14.3. Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s)

f x , y = x 2 - y 2 ;                           x 2 + y 2 = 1

Passo 1

Oie, meu amigo. Tudo bem com você?

Espero que esteja tudo certo por ai, hoje irei te ajudar a resolver essa atividade.

Dada a função:

f x , y = x 2 - y 2

Queremos determinar os máximos e mínimos dessa função com multiplicadores de Lagrange. Isso deve ainda levar em consideração a restrição:

x 2 + y 2 = 1

Lembre-se das formulas necessárias para esse exercício:

∇ f x , y = λ ∇ g x , y

Sendo assim, precisaremos encontrar os gradientes de ambas as funções. Com eles em mãos, iremos resolver e igualdade anterior, encontra os λ e após isso iremos encontrar os pontos críticos.

Com os pontos críticos em mãos iremos substituir em f , e assim iremos obter o maior valor e o menor valor de f .

Passo 2

Para começar o exercício, temos que determinar os multiplicadores de Lagrange.

Para isso vamos começar calculando o gradiente de f x , y :

∇ f = < ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y >  

f x , y = x 2 - y 2

Derivando em relação a x para encontrar f x e em relação a y para encontrarmos f y , teremos:

∂ f ∂ x = 2 x

Derivamos em relação a x e considerando todas as outras variáveis como constantes:

Agora o mesmo é feito para encontrar f y :

∂ f ∂ y = 2 x = y

O gradiente é então:

∇ f = 2 x ,   - 2 y

E também precisamos do divergente de g x , y :

λ ∇ g = ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y

∇ g = x 2 + y 2 - 1

Derivando parcialmente em relação a x e a y , iremos encontrar o gradiente da nossa função:

  λ ∇ g = 2 λ x ,   2 λ y

Então nós temos que:

∇ f = λ ∇ g

Fazendo para x :

2 x = 2 λ x

O que implica λ = 1 ou x = 0 .

Se usarmos x = 0 na restrição temos:

x 2 + y 2 = 1

y 2 = 1

Isso implica:

y = ± 1

Por outro lado, fazendo para y :

- 2 y = 2 λ y

se substituirmos λ = 1 implica que y = 0 . Se a gente substituir y = 0 na restrição, temos:

x 2 + y 2 = 1

x 2 = 1

Isso implica x = ± 1

Passo 3

Então nós temos que:

2 x = 2 λ x

O que implica λ = 1 ou x = 0 .

Se usarmos x = 0 na restrição temos:

x 2 + y 2 = 1

y 2 = 1

Isso implica

y = ± 1

Então daqui concluímos que os pontos:

0,1   ; 0 , - 1

São pontos críticos.

Por outro lado:

- 2 y = 2 λ y

se substituirmos λ = 1 implica que y = 0 . Se a gente substituir y = 0 na restrição, temos

x 2 + y 2 = 1

x 2 = 1

Isso implica x = ± 1 .

E daqui concluímos que os pontos

1,0   ;   - 1,0

São pontos críticos.

Passo 4

Agora vamos determinar se os pontos que encontramos são valores máximos ou mínimos.

f x , y = x 2 - y 2

f 0 , ±   1 = 0 2 - ± 1 2 = - 1

Por outro lado:

f ± 1 ,   0 = ± 1 2 - 0 2 = 1

Então:

( ± 1,0 )

São os limites máximos e:

0 , ± 1

São os limites mínimos.

Resposta

( ± 1,0 )

São os limites máximos e

0 , ± 1

São os limites mínimos.

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