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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.8 - Ex. 32

14.32. Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados

Exercício 44

Passo 1

Vamos de mais uma resolução hoje. Vamos trabalhar com multiplicadores de Lagrange.

A primeira coisa que a gente precisa fazer, é relembrar o exercício 4 4 da seção 7 . O enunciado é esse:

“Resolva o problema do Exercício 43 para um elipsoide genérico x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 ”

Nossa! Agora precisamos relembrar o exercício 43.

“Determine o volume da maior caixa retangular com arestas paralelas aos eixos e que pode ser inscrita no elipsoide 9 x 2 + 36 y 2 + 4 z 2 = 36 ”

Seguinte, a nossa restrição fica dessa forma:

g x , y , z = x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 - 1

A gente também pode colocar da seguinte forma:

g x , y , z = b 2 c 2 x 2 + a 2 c 2 y 2 + a 2 b 2 z 2 - a 2 b 2 c 2

Agora para resolver com os multiplicadores de Lagrange precisamos conhecer f x , y , z , como estamos falando do volume de uma caixa retangular, com as arestas paralelas aos eixos, a função é a seguinte:

f x , y , z = 8 x y z

Então iremos fazer o produto:

∇ f x , y , z = λ ∇ g x , y , z

Onde ∇ f e ∇ g são os gradientes dessas funções. A partir daí poderemos encontrar os pontos críticos e encontrar o volume máximo.

Passo 2

Vamos calcular o divergente:

f x , y , z = 8 x y z

O divergente é dado por:

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z  

Derivando individualmente cada:

f x = 8 y z

Para encontrarmos as derivadas parciais, derivamos em relação a uma variável e consideramos todas as outras como constantes, fazendo isso para as outras funções, teremos então nosso gradiente:

∇ f = < 8 y z ,   8 x z ,   8 x y >

E também precisamos do divergente de g x , y :

λ ∇ g = λ < ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y , ∂ g ∂ z >  

g x , y , z = b 2 c 2 x 2 + a 2 c 2 y 2 + a 2 b 2 z 2 - a 2 b 2 c 2

O mesmo se aplica aqui:

λ ∇ g = < 2 λ b 2 c 2 x ,   2 λ a 2 c 2 y ,   2 λ a 2 b 2 z >

Passo 3

Vamos começar fazendo a igualdade que vimos no primeiro passo:

∇ f x , y , z = λ ∇ g x , y , z

Então a gente vai fazer isso para todas as coordenadas, começando com x :

∂ f ∂ x = λ ∂ g ∂ x

8 y z = 2 λ b 2 c 2 x   ,     ( I )  

Agora com y :

∂ f ∂ y = λ ∂ g ∂ y

  8 x z = 2 λ a 2 c 2 y   ,     ( I I )

E por último com z :

∂ f ∂ z = λ ∂ g ∂ z

8 x y =   2 λ a 2 b 2 z ,     I I I

Agora a gente deixa uma variável livre e coloca as outras variáveis em função da variável livre, por exemplo, eu vou deixar y como uma variável livre e escrever x em função de y e z em função de y também.

Vamos pegar a equação (I)

8 y z = 2 λ b 2 c 2 x

E a equação (II)

8 x z = 2 λ a 2 c 2 y  

E vamos fazer I I I :

8 y z 8 x z = 2 λ b 2 c 2 x 2 λ a 2 c 2 y

Agora vamos fazer essas divisões:

y x = b 2 a 2 x y

Então

y 2 = b 2 a 2 x 2

Logo

x = a y b

E agora vamos pegar a equação (III)

8 x y =   2 λ a 2 b 2 z

E fazer ( I I I ) / ( I I )

8 x y 8 x z = 2 λ a 2 b 2 z 2 λ a 2 c 2 y

Fazendo essas divisões

y z = b 2 c 2 z y

Então

y 2 = b 2 c 2 z 2

Logo

z = c b y

Passo 4

Agora vamos usar a equação de restrição:

b 2 c 2 x 2 + a 2 c 2 y 2 + a 2 b 2 z 2 = a 2 b 2 c 2

Substituindo os valores das variáveis que a gente encontrou:

b 2 c 2 a y b 2 + a 2 c 2 y 2 + a 2 b 2 c b y 2 = a 2 b 2 c 2

Agora a gente consegue achar um valor para y , vamos colocar o y 2 em evidencia:

y 2 b 2 c 2 a 2 b 2 + a 2 c 2 + a 2 b 2 c 2 b 2 = a 2 b 2 c 2

y 2 a 2 c 2 + a 2 c 2 + a 2 c 2 = a 2 b 2 c 2

Então:

y 2 = a 2 b 2 c 2 3 a 2 c 2

Logo:

y 2 = b 2 3

y = b 3    

Agora podemos determinar as outras variáveis:

x = a y b

x = a b b 3

Então:

x = a 3

E agora:

z = c b y

z = c b b 3

Então:

z = c 3

Então agora podemos determinar o volume:

V = f x , y , z = 8 x y z

Substituindo os valores que encontramos:

V = 8 a 3 ⋅ b 3 ⋅ c 3 = 8 3 3

Resposta

V = 8 3 3

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