Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).

Vamos então tirar os gradientes das nossas funções!

Primeiro vamos para a função :

Para calcular o gradiente , basta aplicarmos as derivadas parciais!!

Derivando em relação a , colocando o termo constante para fora e aplicando a regra da potência, temos:

De forma análoga, derivando em relação a :

E, derivando em relação a :

Assim, nosso gradiente é:

Agora vamos para a função :

Derivando com relação a , aplicando a regra da potência, obtemos:

Derivando em relação a de forma análoga:

E, por fim, derivando :

Assim, nosso gradiente é:

Beleza, temos nossos gradientes, agora vamos encontrar um que satisfaça a equação.

Para isso, basta aplicarmos os gradientes que encontramos no passo anterior na equação que apresentamos no Passo 1:

Daí, vamos tirar que:

Simplificando, temos:

Aqui a gente vai analisar de duas formas:

1. Para ;
2. Para .

Para , teremos que uma ou duas coordenadas, mas não as três simultaneamente, serão iguais a .

Como assim?? Perceba que as três coordenadas simultaneamente nulas não satisfazem a equação da restrição (não é possível a soma de “três zeros” ser igual a ):

Dito isso, para esse caso, temos que nossa função vale:

Agora vamos ver o outro caso!!! 😉

Agora vamos analisar para .

Para esse caso, isolando em cada equação, temos:

Se igualarmos as duas expressões do meio, teremos:

E, se igualarmos as duas últimas expressões, teremos:

Com isso, podemos concluir que:

Se aplicarmos essa informação na expressão na nossa restrição, obtemos:

Com isso, podemos inferir que:

Dessa forma, os nossos pontos de máximo serão:

Agora vamos calcular nosso ponto de máximo!!

Perceba que, como todas as coordenadas são iguais em módulo, podemos encontrar os valores de máximo e mínimo de :

Assim, será máximo e será mínimo.

Prontinho! Conseguimos!