Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).

f(x, y, z) = 8x - 4z

x² + 10y² + z² = 5

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de multiplicador de Lagrange, vamos lá!

A questão nos dá a função f x ,   y ,   z = 8 x - 4 z e a restrição x ² + 10 y ² + z ² = 5 , e em seguida nos pede para determinar o valor máximo e mínimo da função usando multiplicadores de Lagrange!

Mas como fazemos isso?

O método de Lagrange propõe que: Para determinar os valores máximo e mínimo de uma função f x , y , z sujeita à restrição g x , y , z = k nós podemos usar a seguinte fórmula

∇ f x , y , z = λ ⋅ ∇ g x , y , z

Onde λ é o nosso multiplicador de Lagrange!

Assim, definindo o gradiente (as derivadas parciais) da função e das restrições, nós podemos procurar por valores de x , y ,   z e λ que satisfaçam essa expressão!

Dessa forma, quando tivermos todos os pontos de interesse, o valor máximo e o mínimo serão, respectivamente, os pontos que tiverem maior e menor valor de f ( x , y , z ) !

Passo 2

A expressão que relaciona a função às restrições com os multiplicadores de Lagrange é

∇ f = λ ∇ g

Onde f x ,   y ,   z = 8 x - 4 z e g ( x ,   y ,   z ) = x ² + 10 y ² + z ²

Como o gradiente é o conjunto das derivadas parciais, então podemos reescrever isso como

( f x , f y , f z )   = λ ( g x , g y , g z )

Calculando essas derivadas parciais, encontramos

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x 8 x - 4 z

f x = 8

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y 8 x - 4 z

f y = 0

∂ f ∂ z = ∂ ∂ z 8 x - 4 z

f z = - 4

∂ g ∂ x = ∂ ∂ x x ² + 10 y ² + z ²

g x = 2 x

∂ g ∂ y = ∂ ∂ y x ² + 10 y ² + z ²

g y = 20 y

∂ g ∂ z = ∂ ∂ z x ² + 10 y ² + z ²

g z = 2 z

De forma que ficamos com o seguinte

( 8 ,   0 ,   - 4 )   = λ ( 2 x ,   2 0 y ,   2 z )

Dessa expressão “matricial” obtemos o seguinte sistema de equações

8 =   2 λ x

0 =   2 0 λ y

- 4 =   2 λ z

E além disso, considerando a restrição também temos

x ² + 10 y ² + z ² = 5

Agora precisamos analisar esse sistema de equações para obter os pontos de interesse e avaliar quem são o máximo e o mínimo da função!

Passo 3

Temos o seguinte sistema

8 =   2 λ x

0 =   20 λ y

- 4 =   2 λ z

x ² + 10 y ² + z ² = 5

Da primeira expressão já vemos que λ ≠ 0 ! Mas se λ ≠ 0 então da segunda expressão nós obtemos que

y = 0

Além disso, da primeira e terceira expressões obtemos

x = 4 λ

z = - 2 λ

E se substituirmos esses valores na expressão da restrição, temos

4 λ 2 + 0 2 + - 2 λ 2 = 35

De forma que obtemos

λ = ± 2

Então, substituindo o valor de λ nas expressões que reescrevemos anteriormente, obtemos os seguintes pontos de interesse

Para λ = 2

( x ,   y ,   z ) = ( 2 ,   0 ,   - 1 )

Para λ = - 2

( x ,   y ,   z ) = ( - 2 ,   0 ,   1 )

Por fim, testando o valor de f nesses pontos temos

f 2 ,   0 ,   - 1 = 20

f - 2 ,   0 ,   1 = - 2 0

Ou seja, f 2 ,   0 ,   - 1 = 2 0 é o máximo e f - 2 ,   0 ,   1 = - 2 0 é o mínimo.

Resposta

f 2 ,   0 ,   - 1 = 20 é o máximo e f - 2 ,   0 ,   1 = - 20 é o mínimo.

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