Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.7 - Ex. 19
Utilize o gráfico e/ou curvas de nível para estimar os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Em seguida use o cálculo para achar esses valores precisamente.
Passo 1
Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de analisar função, vamos lá!
A questão da a função
E pede para a gente estimar os pontos de sela além dos máximos e mínimos locais usando o gráfico e/ou as curvas de nível!
Relembrando: Esses são pontos onde e são iguais a !
Para fazer isso não tem segredo: A gente pode jogar a função na calculadora 3D do GeoGebra (geogebra.org/calculator) e analisar o gráfico!
Depois disso a questão pede para encontrar esses pontos usando cálculo e é aí que a gente vai usar derivadas parciais!
Vamos encontrar os pontos críticos onde
E em seguida aplicar na fórmula
Onde
então é um mínimo local.
então é um máximo local.
então não é nem mínimo e nem máximo local (o ponto de sela).
Passo 2
Jogando a nossa função no GeoGebra nós ficamos com o seguinte gráfico:
De cara a gente já consegue ver um máximo local no (aquele morrinho no eixo vertical) e um mínimo local no (o morrinho invertido)!
Além disso, olhando por outro ângulo
A gente vê dois pontos de sela: No e no !
Relembrando: Os pontos de sela são pontos onde e são iguais a mas não são nem mínimos nem máximos! (Ou se preferir: São os pontos que parecem uma sela de cavalo, daí o nome)
Passo 3
Agora a gente precisa encontrar (de novo) esses pontos usando cálculo.
Para isso vamos começar encontrando e !
Relembrando: Para encontrar derivadas parciais a gente fixa as variáveis que não estão envolvidas na derivação!
De forma que
E
Agora precisamos encontrar todos os pontos críticos onde
De forma que, observando :
Onde essa expressão será verdadeira para e ! Mas lembre-se que queremos e iguais a simultaneamente, então se
Substituindo os valores que encontramos na expressão anterior conseguimos completar os pares ordenados!
Para a gente fazer isso, a gente tem que trabalhar com as derivadas, acontece o seguinte, a gente deriva a função e iguala a derivada à 0, então nós teremos nosso ponto de interesse.
Vamos começar determinando nossas derivadas
Vamos derivar primeiro em relação à
E
Para em
De forma que a expressão será verdadeira para ou ! Assim a gente já tem os pontos e !
Da mesma forma, para em
De forma que expressão será verdadeira para ! Que nos dá os pontos e !
Passo 4
Já temos nossos pontos de interesse, agora vamos dizer se são máximos, mínimos ou pontos de sela, para isso a gente vai usar a seguinte fórmula
Onde
então é um mínimo local.
então é um máximo local.
então não é nem mínimo e nem máximo local (o ponto de sela).
Mas para isso precisamos primeiramente encontrar as segundas derivadas!
De forma que:
Agora derivamos isso em relação a
Da mesma forma:
Derivando em relação a
E por fim:
ou
Lembrando: Como temos derivadas contínuas, pelo teorema de Clairaut essas duas derivadas cruzadas são iguais!
Vamos derivar isso em relação a
Então
Passo 5
Agora vamos verificar a natureza dos pontos críticos.
Vamos testar para o ponto
Analisando
então é um máximo local!
Agora o ponto
Analisando
então é um mínimo local!
Agora o ponto
então é um ponto de sela!
E por fim o ponto
então é um ponto de sela!
Resposta
Os pontos de sela são
O ponto de mínimo é
O ponto de máximo é