Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).

f(x, y) = e^(xy)

x^3 + y^3 = 16

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de multiplicador de Lagrange, vamos lá!

A questão nos dá a função f x ,   y = e x y e a restrição x 3 + y 3 = 16 , e em seguida nos pede para determinar o valor máximo e mínimo da função usando multiplicadores de Lagrange!

Mas como fazemos isso?

O método de Lagrange propõe que: Para determinar os valores máximo e mínimo de uma função f x , y sujeita à restrição g x , y = k nós podemos usar a seguinte fórmula

∇ f x , y = λ ⋅ ∇ g x , y

Onde λ é o nosso multiplicador de Lagrange!

Assim, definindo o gradiente (as derivadas parciais) da função e das restrições, nós podemos procurar por valores de x , y e λ que satisfaçam essa expressão!

Dessa forma, quando tivermos todos os pontos de interesse, o valor máximo e o mínimo serão, respectivamente, os pontos que tiverem maior e menor valor de f ( x , y ) !

Passo 2

A expressão que relaciona a função às restrições com os multiplicadores de Lagrange é

∇ f = λ ∇ g

Onde f x ,   y = e x y e g x , y = x 3 + y 3

Como o gradiente é o conjunto das derivadas parciais, então podemos reescrever isso como

( f x , f y )   = λ ( g x , g y )

Calculando essas derivadas parciais, encontramos

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x e x y

f x = y e x y

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y 4 x + 6 y

f y = x e x y

∂ g ∂ x = ∂ ∂ x x 3 + y 3

g x = 3 x ²

∂ g ∂ y = ∂ ∂ y x 3 + y 3

g y = 3 y ²

De forma que ficamos com o seguinte

( y e x y ,   x e x y )   = λ ( 3 x ² ,   3 y ² )

Dessa expressão “matricial” obtemos o seguinte sistema de equações

y e x y =   3 λ x ²

x e x y =   3 λ y ²

E além disso, considerando a restrição também temos

x 3 + y 3 = 16

Agora precisamos analisar esse sistema de equações para obter os pontos de interesse e avaliar quem são o máximo e o mínimo da função!

Passo 3

Da primeira e segunda expressões já percebemos que se

x = 0

Então

y = 0

E vice-versa! Mas se substituirmos ( 0 , 0 ) na restrição nós teremos uma contradição, de forma que esse ponto está descartado!

Então para encontrar um ponto válido nós podemos resolver esse dividindo a primeira equação pela segunda! De forma que eliminamos a variável λ !

y e x y x e x y = 3 λ x 2   3 λ y ²

y x = x 2 y 2

E isso afirma pra gente que

x = y

Substituindo na equação da restrição temos

x 3 + x 3 = 16

2 x 3 = 16

x 3 = 8

x = 2

Então o único ponto que encontramos é ( 2 ,   2 ) ! Se substituirmos em f ( x , y ) obtemos o valor de máximo e 4 !

Resposta

f 2 ,   2 = e 4 é o máximo

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