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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.7 - Ex. 40

14.39. Determine os pontos da superfície x 2 y 2 z = 1 que estão mais próximos da origem.

Passo 1

Vamos começar manipulando um pouquinho nossa equação, vamos isolar z

z = 1 x 2 y 2

Mas nós temos que minimizar a distância da origem, e não o eixo z, portanto temos que minimizar

d 2 = x 2 + y 2 + z 2

Então vamos fazer o seguinte, vamos elevar a nossa equação original ao quadrado e depois somar x 2 + y 2

x 2 + y 2 + z 2 = x 2 + y 2 + x - 4 y - 4

Então temos nossa função

f x , y , z = x 2 + y 2 + x - 4 y - 4

Agora sim a gente pode fazer as derivadas parciais

f x = 2 x - 4 x 5 y 4

E

f y = 2 y - 4 x 4 y 5

Passo 2

Agora a gente pode achar os pontos críticos, fazendo

f x = f y = 0

Então

2 x - 4 x 5 y 4 = 0

2 y - 4 x 4 y 5 = 0

Da primeira equação temos que

2 x = 4 x 5 y 4

2 x 6 = 4 y - 4

E da segunda equação temos

2 y = 4 x 4 y 5

2 y 6 = 4 x - 4

Multiplicando as equações temos

2 x 6 ⋅ 2 y 6 = 4 y - 4 ⋅ 4 x - 4

x 6 y 6 = 2 y - 4 x - 4

Juntando os termos semelhantes

x 6 x 4 = y - 6 y - 4

x 10 = y - 10

Logo

x = ± y

Agora a gente pode substituir isso nas equações

2 ± y 6 = 4 y - 4

2 y 6 = 4 y - 4

y 10 = 2

Então

y = ± 2 1 10

Por tanto

x = ± y

x = ± 2 1 10

Substituindo esses valores na nossa equação temos

z = 1 x 2 y 2

z = 1 2 1 10 2 2 1 10 2

Então

z = 1 2 2 10 2 2 10 = 1 2 2 5

Em outras palavras

z = 2 - 2 5

Então nossos pontos de interesse são

± 2 1 10 ,   ± 2 1 10 ,   2 - 2 5

Passo 3

Se a gente analisar a superfície, ela se estende infinitamente para o eixo z positivo, então nosso ponto crítico é um ponto de mínimo.

Logo ± 2 1 10 ,   ± 2 1 10 ,   2 - 2 5

É o ponto mais próximo da origem.

Resposta

± 2 1 10 ,   ± 2 1 10 ,   2 - 2 5

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